(b) Use a série de Fourier obtida no item anterior para escrever como uma série numérica
de números reais. (Dica: use )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar a série de Fourier que obtivemos no item anterior para escrever como uma série numérica de números reais. Isso está relacionado à análise de séries trigonométricas, que são usadas para representar funções periódicas. Para resolver isso, vamos aproveitar a dica de avaliar a série em .

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma série de Fourier para uma função em um intervalo específico (geralmente a ) pode ser escrita como:
Aqui, , e são os coeficientes de Fourier que determinam a contribuição de cada termo na série.

Passo 3

Agora, vamos considerar que no item anterior obtivemos uma série de Fourier específica para uma função que nos ajudará a encontrar . Para isso, vamos substituir na série.
Substituindo na série de Fourier:
Sabemos que e , então a equação simplifica para:

Passo 4

Agora, precisamos relacionar isso com . Supondo que a função escolhida no item anterior seja tal que nos dê um valor relacionado a , podemos igualar a expressão acima a esse valor.
Por exemplo, se tivermos:
Então:

Passo 5

Isolando , multiplicamos ambos os lados por 6:
Essa é a expressão que representa como uma série numérica de números reais, usando os coeficientes da série de Fourier obtida.

Resposta

Assim, conseguimos expressar como:
Onde e são os coeficientes da série de Fourier previamente determinada.

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