(b) Use a série de Fourier obtida no item anterior para escrever
como uma série numérica
de números reais. (Dica: use
)
de números reais. (Dica: use
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar a série de Fourier que obtivemos no item anterior para escrever
como uma série numérica de números reais. Isso está relacionado à análise de séries trigonométricas, que são usadas para representar funções periódicas. Para resolver isso, vamos aproveitar a dica de avaliar a série em
.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma série de Fourier para uma função
em um intervalo específico (geralmente
a
) pode ser escrita como:
Aqui,
,
e
são os coeficientes de Fourier que determinam a contribuição de cada termo na série.
Passo 3
Agora, vamos considerar que no item anterior obtivemos uma série de Fourier específica para uma função que nos ajudará a encontrar
. Para isso, vamos substituir
na série.
Substituindo
na série de Fourier:
Sabemos que
e
, então a equação simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos relacionar isso com
. Supondo que a função
escolhida no item anterior seja tal que
nos dê um valor relacionado a
, podemos igualar a expressão acima a esse valor.
Por exemplo, se tivermos:
Então:
Passo 5
Isolando
, multiplicamos ambos os lados por 6:
Essa é a expressão que representa
como uma série numérica de números reais, usando os coeficientes da série de Fourier obtida.
Resposta
Assim, conseguimos expressar
como:
Onde
e
são os coeficientes da série de Fourier previamente determinada.
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