(a) Calcule pela definição a transformada de Laplace da função

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a transformada de Laplace da função usando a definição. A matéria que estamos mexendo aqui é a Transformada de Laplace, que ajuda a transformar funções do tempo para o domínio da frequência. Vamos precisar usar a definição dessa transformada e fazer uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. Ela é dada por:
Isso significa que a gente vai multiplicar a função por e integrar de 0 ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos substituir por na definição. Ficando:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando as exponenciais, temos:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, precisamos que o expoente seja negativo para que a integral convirja, ou seja, . Integrando, temos:
Quando vai para infinito, tende a 0 (porque ). Quando , . Então, o resultado da integral é:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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(b) Use a série de Fourier obtida no item anterior para escrever como uma série numérica
de números reais. (Dica: use )