(a) Calcule pela definição a transformada de Laplace da função
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a transformada de Laplace da função
usando a definição. A matéria que estamos mexendo aqui é a Transformada de Laplace, que ajuda a transformar funções do tempo para o domínio da frequência. Vamos precisar usar a definição dessa transformada e fazer uma integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. Ela é dada por:
Isso significa que a gente vai multiplicar a função
por
e integrar de 0 ao infinito.
Passo 3
Agora, vamos substituir
por
na definição. Ficando:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando as exponenciais, temos:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, precisamos que o expoente seja negativo para que a integral convirja, ou seja,
. Integrando, temos:
Quando
vai para infinito,
tende a 0 (porque
). Quando
,
. Então, o resultado da integral é:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é:
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Diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.
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(b) Use a série de Fourier obtida no item anterior para escrever
como uma série numérica
de números reais. (Dica: use )
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