(b) Use a solução geral obtida no item (a) para encontrar a única solução do P.V.I:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema juntos! A gente precisa achar a solução única para a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Esse tipo de problema está na área de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos usar a solução geral que já foi encontrada no item (a) e aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a solução geral da equação diferencial dada. Geralmente, a solução geral é composta pela solução da equação homogênea associada (
) mais uma solução particular da equação completa.
No caso, a solução geral
foi dada como:
Aqui,
e
são constantes que precisamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a primeira condição inicial:
.
Substituindo
na solução geral:
Simplificando:
Então, já temos o valor de
:
.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda condição inicial:
.
Primeiro, precisamos achar a derivada de
:
Calculando derivada termo a termo:
Agora, substituímos
:
Simplificando:
Portanto,
.
Resposta
Substituindo
e
na solução geral, a solução única do P.V.I é: