(b) Use a solução geral obtida no item (a) para encontrar a única solução do P.V.I: y'' + 2 y' + y = x^2, y(0) = y'(0) = 0 [Resp: y(x) = x^2 - 4x + 6 - 6 e^(-x) - 2x e^(-x)].

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema juntos! A gente precisa achar a solução única para a equação diferencial com as condições iniciais e . Esse tipo de problema está na área de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos usar a solução geral que já foi encontrada no item (a) e aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a solução geral da equação diferencial dada. Geralmente, a solução geral é composta pela solução da equação homogênea associada ( ) mais uma solução particular da equação completa.
No caso, a solução geral foi dada como:
Aqui, e são constantes que precisamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a primeira condição inicial: .
Substituindo na solução geral:
Simplificando:
Então, já temos o valor de : .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda condição inicial: .
Primeiro, precisamos achar a derivada de :
Calculando derivada termo a termo:
Agora, substituímos :
Simplificando:
Portanto, .

Resposta

Substituindo e na solução geral, a solução única do P.V.I é:

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