Considere a equação diferencial (x+3) y'' + (x+2) y' - y = 0. Determine para que valores dos parâmetros r, a e b, y1(x) = e^(r x) e y2(x) = a x + b são duas soluções fundamentais da equação. [Resp: r = -1, b = 2 a e b em R ].
Obtendo uma segunda solução: Vamos supor que uma solução da equação diferencial linear de segunda ordem homogênea y''(x) + p(x) y'(x) + q(x) = 0, é conhecida. Chamemos y(x) a essa solução. Então é possível encontrar uma segunda solução linearmente independente com a anterior. Para isto deve propor como outra solução z(x) = u(x) * y(x), substituir z, z', z'' na equação diferencial e determinar a função u(x) que satisfaz agora uma nova e.d.o. de segunda ordem, porém mais simples pois pode ser transformada em duas de primeira ordem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
E queremos descobrir para quais valores dos parâmetros e as funções e são soluções fundamentais dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas e substituir as funções dadas na equação para encontrar os valores dos parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é uma solução da equação. Para isso, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de :
Agora, substituímos , e na equação diferencial:
Podemos fatorar (que nunca é zero) para simplificar:
Como , temos:

Passo 3

Para essa igualdade ser verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Vamos reorganizar a expressão:
Agrupando os termos de e os termos constantes:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver o primeiro membro do sistema:
Portanto, ou .
Agora, vamos testar esses valores na segunda equação:
Para :
Não funciona. Agora, para :
Funciona! Então, é a solução válida.

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda função . Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 6

Da equação , temos que .
Isso significa que, para qualquer valor real de , deve ser o dobro de para que seja uma solução da equação diferencial.

Resposta

Os valores dos parâmetros são , e .

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