Considere a equação diferencial
. Determine para que valores dos parâmetros
e
e
são duas soluções fundamentais da equação. [Resp:
e
].
Obtendo uma segunda solução: Vamos supor que uma solução da equação diferencial linear de segunda ordem homogênea
, é conhecida. Chamemos
a essa solução. Então é possível encontrar uma segunda solução linearmente independente com a anterior. Para isto deve propor como outra solução
, substituir
na equação diferencial e determinar a função
que satisfaz agora uma nova e.d.o. de segunda ordem, porém mais simples pois pode ser transformada em duas de primeira ordem.
Obtendo uma segunda solução: Vamos supor que uma solução da equação diferencial linear de segunda ordem homogênea
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
E queremos descobrir para quais valores dos parâmetros
e
as funções
e
são soluções fundamentais dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas e substituir as funções dadas na equação para encontrar os valores dos parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é uma solução da equação. Para isso, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de
:
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Podemos fatorar
(que nunca é zero) para simplificar:
Como
, temos:
Passo 3
Para essa igualdade ser verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Vamos reorganizar a expressão:
Agrupando os termos de
e os termos constantes:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver o primeiro membro do sistema:
Portanto,
ou
.
Agora, vamos testar esses valores na segunda equação:
Para
:
Não funciona. Agora, para
:
Funciona! Então,
é a solução válida.
Passo 5
Agora, vamos verificar a segunda função
. Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 6
Da equação
, temos que
.
Isso significa que, para qualquer valor real de
,
deve ser o dobro de
para que
seja uma solução da equação diferencial.
Resposta
Os valores dos parâmetros são
,
e
.