Dar a solução geral da equação
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai usar o método dos coeficientes constantes, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica substituindo
por
. Isso nos dá:
Essa é uma equação quadrática, e as raízes
vão determinar a forma da solução geral.
Passo 3
Vamos calcular o discriminante dessa equação quadrática, que é dado por:
Dependendo do valor de
, o discriminante pode ser positivo, zero ou negativo, o que nos leva a três casos diferentes.
Passo 4
Caso 1:
Quando o discriminante é negativo, as raízes são complexas conjugadas. Então, temos:
A solução geral nesse caso é:
Passo 5
Caso 2:
Quando o discriminante é zero, a equação tem raízes reais e iguais:
A solução geral nesse caso é:
Passo 6
Caso 3:
Aqui, o discriminante é positivo, então temos duas raízes reais e distintas:
A solução geral nesse caso é:
Resposta
A solução geral da equação
é:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
onde
e
são constantes arbitrárias.