Dar a solução geral da equação y'' + 2y' + alfa y = 0, para alpha > 1, alpha = 1, alpha < 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai usar o método dos coeficientes constantes, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica substituindo por . Isso nos dá:
Essa é uma equação quadrática, e as raízes vão determinar a forma da solução geral.

Passo 3

Vamos calcular o discriminante dessa equação quadrática, que é dado por:
Dependendo do valor de , o discriminante pode ser positivo, zero ou negativo, o que nos leva a três casos diferentes.

Passo 4

Caso 1:
Quando o discriminante é negativo, as raízes são complexas conjugadas. Então, temos:
A solução geral nesse caso é:

Passo 5

Caso 2:
Quando o discriminante é zero, a equação tem raízes reais e iguais:
A solução geral nesse caso é:

Passo 6

Caso 3:
Aqui, o discriminante é positivo, então temos duas raízes reais e distintas:
A solução geral nesse caso é:

Resposta

A solução geral da equação é:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
onde e são constantes arbitrárias.

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