Determine a solução geral para as seguintes equações diferencias homogêneas de segunda ordem a coeficientes constantes:
Resp:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
O conteúdo que vamos usar aqui é a resolução de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, a gente vai precisar encontrar as raízes da equação característica associada a essa equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Ela é formada substituindo
por
,
por
e
permanece como está. Então, nossa equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. A gente usa a fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante (
) é negativo, temos raízes complexas.
Passo 4
Com as raízes complexas, podemos escrever a solução geral usando a forma:
Onde:
-
(a parte real das raízes) -
(a parte imaginária das raízes) -
e são constantes que a gente determina pelas condições iniciais, se tiver.
Resposta
Então, a solução geral da equação diferencial é: