Determine a solução geral para as seguintes equações diferencias homogêneas de segunda ordem a coeficientes constantes:
y'' - 3y' + 6y = 0 Resp: y(x) = c1 * e^(3 x / 2) * sen(raiz(15) x / 2) + c2 * e^(3 x / 2) * cos(raiz(15) x / 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
O conteúdo que vamos usar aqui é a resolução de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, a gente vai precisar encontrar as raízes da equação característica associada a essa equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Ela é formada substituindo por , por e permanece como está. Então, nossa equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . A gente usa a fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante ( ) é negativo, temos raízes complexas.

Passo 4

Com as raízes complexas, podemos escrever a solução geral usando a forma:
Onde:
  • (a parte real das raízes)
  • (a parte imaginária das raízes)
  • e são constantes que a gente determina pelas condições iniciais, se tiver.

Resposta

Então, a solução geral da equação diferencial é:

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