Determine a solução geral das e.d.o. de segunda ordem a coeficientes constantes não homogêneas (Use o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular):
. (Resp:
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que tem coeficientes constantes e não é homogênea. O objetivo é achar a solução geral usando o método dos coeficientes indeterminados. Para isso, precisamos entender como resolver a parte homogênea e encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Aqui, procuramos funções que, depois de derivadas duas vezes e multiplicadas por 2, somem zero. Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo para
:
Como as raízes são complexas, a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Usamos o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em supor uma forma para
baseada no lado direito da equação.
O lado direito tem dois termos:
e uma constante
. Então, assumimos:
onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos substituir
na equação original e resolver para
e
.
Primeiro, calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Portanto, a solução particular é:
Passo 5
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea (
) com a solução particular (
):