Determine a solução geral das e.d.o. de segunda ordem a coeficientes constantes não homogêneas (Use o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular):
y'' + 2y = e^x + 2. (Resp: y_GNH = 1 + (1/3) * e^x + c1 * cos(raiz(2) * x) + c2 * sen(raiz(2) * x) ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que tem coeficientes constantes e não é homogênea. O objetivo é achar a solução geral usando o método dos coeficientes indeterminados. Para isso, precisamos entender como resolver a parte homogênea e encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Aqui, procuramos funções que, depois de derivadas duas vezes e multiplicadas por 2, somem zero. Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo para :
Como as raízes são complexas, a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Usamos o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em supor uma forma para baseada no lado direito da equação.
O lado direito tem dois termos: e uma constante . Então, assumimos:
onde e são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos substituir na equação original e resolver para e .
Primeiro, calculamos as derivadas de :
Substituindo na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Portanto, a solução particular é:

Passo 5

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea ( ) com a solução particular ( ):

Resposta

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