(a) Use a Equação 2 para calcular o comprimento do segmento de reta fornecido. r(t) = (t + 2) i - t j + (3t - 5) k, -1 <= t <= 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um segmento de reta definido pela função vetorial , onde t varia de -1 até 2. Nosso objetivo aqui é calcular o comprimento desse segmento usando a Equação 2, que provavelmente é a fórmula da longitudinal para curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a fórmula que vamos usar. A Equação 2 para calcular o comprimento de uma curva paramétrica r(t) de até é:
Aqui, é a derivada da função vetorial r(t) em relação a t, e representa o módulo ou norma dessa derivada, que dá a velocidade instantânea da curva.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função vetorial r(t):
Derivando cada componente em relação a t:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o módulo de :
Isso significa que a velocidade da curva é constante e igual a .

Passo 5

Com o módulo da derivada, podemos calcular o comprimento L:

Resposta

O comprimento do segmento de reta é unidades.

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