b) Verifique se a equação x * y * dx + y^2 * dy = 0 é exata e diga se ela pode ser resolvida por outro método.

Passo 1

Então, a gente tem a equação diferencial . Nosso objetivo aqui é verificar se essa equação é exata e, se não for, ver se dá pra resolvê-la por outro método. Pra isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como identificar uma.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja, precisamos que:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , fica claro que . Então, a equação não é exata.

Passo 3

Já que a equação não é exata, precisamos pensar em outros métodos para resolvê-la. Uma opção comum é encontrar um fator integrante que, ao multiplicar a equação original, a torne exata. No entanto, isso envolve passos adicionais e pode ser um pouco mais complicado dependendo da equação.

Resposta

A equação não é exata, mas pode ser resolvida utilizando outro método, como a aplicação de um fator integrante.

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