Considere a função
.
(f) Encontre os pontos de máximo e de mínimo locais de
.
(f) Encontre os pontos de máximo e de mínimo locais de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa encontrar os pontos onde essa função atinge seus máximos e mínimos locais. Para isso, vamos usar a derivada da função, que nos ajuda a entender como a função está se comportando (se está subindo ou descendo) e identificar esses pontos de máximo e mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, se a função está aumentando ou diminuindo naquele ponto.
A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada da função é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde a função pode ter máximos ou mínimos), precisamos resolver
e também identificar onde a derivada não existe.
Igualando a derivada a zero:
O numerador precisa ser zero, então:
Então, temos um ponto crítico em
.
Agora, vamos verificar onde a derivada não existe. A derivada não existe quando o denominador é zero:
Esses são pontos onde a função tem assíntotas verticais, mas não são máximos ou mínimos locais, então focaremos apenas em
.
Passo 4
Para determinar se o ponto crítico
é um máximo ou mínimo, vamos analisar o comportamento da derivada ao redor desse ponto usando a segunda derivada ou o teste da primeira derivada. Vou optar pelo teste da primeira derivada para manter tudo simples.
Vamos escolher valores de
próximos a 0 e ver o sinal de
:
- Para
(por exemplo, ):
- Para
(por exemplo, ):
Então, a derivada muda de positiva para negativa passando por
. Isso indica que a função passa de crescente para decrescente, ou seja,
é um ponto de máximo local.
Passo 5
Vamos encontrar as coordenadas desse ponto máximo. Já sabemos que
. Agora, calculamos
:
Então, o ponto de máximo local é
.
Resposta
A função
tem um ponto de máximo local em
, com coordenadas
. Não há pontos de mínimo local.