Considere a função f(x) = x^2 / (x^2 - 4).
(f) Encontre os pontos de máximo e de mínimo locais de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar os pontos onde essa função atinge seus máximos e mínimos locais. Para isso, vamos usar a derivada da função, que nos ajuda a entender como a função está se comportando (se está subindo ou descendo) e identificar esses pontos de máximo e mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, se a função está aumentando ou diminuindo naquele ponto.
A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada da função é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde a função pode ter máximos ou mínimos), precisamos resolver e também identificar onde a derivada não existe.
Igualando a derivada a zero:
O numerador precisa ser zero, então:
Então, temos um ponto crítico em .
Agora, vamos verificar onde a derivada não existe. A derivada não existe quando o denominador é zero:
Esses são pontos onde a função tem assíntotas verticais, mas não são máximos ou mínimos locais, então focaremos apenas em .

Passo 4

Para determinar se o ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos analisar o comportamento da derivada ao redor desse ponto usando a segunda derivada ou o teste da primeira derivada. Vou optar pelo teste da primeira derivada para manter tudo simples.
Vamos escolher valores de próximos a 0 e ver o sinal de :
  • Para (por exemplo, ):
  • Para (por exemplo, ):
Então, a derivada muda de positiva para negativa passando por . Isso indica que a função passa de crescente para decrescente, ou seja, é um ponto de máximo local.

Passo 5

Vamos encontrar as coordenadas desse ponto máximo. Já sabemos que . Agora, calculamos :
Então, o ponto de máximo local é .

Resposta

A função tem um ponto de máximo local em , com coordenadas . Não há pontos de mínimo local.

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