Calcule a área da região determinada pelas curvas
e
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área entre as curvas
e
no intervalo de
de 0 a 2. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente integrais, pra achar essa área que está entre as duas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos ver onde essas duas curvas se encontram dentro desse intervalo. Para isso, igualamos
.
Passo 3
Resolvendo
, temos:
Então, as curvas se intersectam em
e
.
Passo 4
Agora, precisamos saber qual das duas curvas está acima da outra em cada parte do intervalo. Para
entre 0 e 1,
está acima de
. Já para
entre 1 e 2, é o contrário:
está acima de
.
Passo 5
Vamos dividir a área em duas partes e calcular cada uma separadamente usando integrais:
- De 0 a 1: área entre
e . - De 1 a 2: área entre
e .
Passo 6
Calculando a primeira integral de 0 a 1:
Passo 7
Calculando a segunda integral de 1 a 2:
Passo 8
Agora, somamos as duas áreas encontradas:
Resposta
A área da região determinada pelas curvas
e
no intervalo de
de 0 a 2 é
unidades de área.