Calcule a área da região determinada pelas curvas y = x^2 e y = x onde x na [0, 2].

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área entre as curvas e no intervalo de de 0 a 2. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente integrais, pra achar essa área que está entre as duas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos ver onde essas duas curvas se encontram dentro desse intervalo. Para isso, igualamos .

Passo 3

Resolvendo , temos:
Então, as curvas se intersectam em e .

Passo 4

Agora, precisamos saber qual das duas curvas está acima da outra em cada parte do intervalo. Para entre 0 e 1, está acima de . Já para entre 1 e 2, é o contrário: está acima de .

Passo 5

Vamos dividir a área em duas partes e calcular cada uma separadamente usando integrais:
  1. De 0 a 1: área entre e .
  2. De 1 a 2: área entre e .

Passo 6

Calculando a primeira integral de 0 a 1:

Passo 7

Calculando a segunda integral de 1 a 2:

Passo 8

Agora, somamos as duas áreas encontradas:

Resposta

A área da região determinada pelas curvas e no intervalo de de 0 a 2 é unidades de área.

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