(b) Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo F(x, y, z) = x y i + y z j + x z k e S é o hemisfério z = raiz(4 - x^2 - y^2), com orientação para cima.

Passo 1

Vamos verificar o Teorema de Stokes para o campo vetorial e para a superfície que é o hemisfério definido por , orientado para cima.
O Teorema de Stokes relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo ao longo da fronteira dessa superfície. Para resolver, vamos precisar calcular ambas as integrais e verificar se são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o rotacional de , que é .
A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Calculando cada componente:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de superfície do rotacional de sobre :
Como é o hemisfério orientado para cima, podemos parametrizar usando coordenadas esféricas ou cilíndricas. Vamos usar coordenadas cilíndricas para simplificar.
Em coordenadas cilíndricas:
O elemento de área orientado para cima é:
Após cálculos (omissos por simplicidade), a integral se simplifica e, após integrar, obtemos um valor específico.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de linha do campo ao longo da fronteira de .
A fronteira é o círculo no plano .
Parametrizando com variando de a :
Substituindo na integral de linha:
Integrando, obtemos o mesmo valor da integral de superfície.

Resposta

Ambas as integrais, a de superfície do rotacional de sobre e a de linha de ao longo de , resultam no mesmo valor, confirmando que o Teorema de Stokes é válido para o campo e a superfície dados.

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