(b) Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo
e
é o hemisfério
, com orientação para cima.
Passo 1
Vamos verificar o Teorema de Stokes para o campo vetorial
e para a superfície
que é o hemisfério definido por
, orientado para cima.
O Teorema de Stokes relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo ao longo da fronteira dessa superfície. Para resolver, vamos precisar calcular ambas as integrais e verificar se são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o rotacional de
, que é
.
A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Calculando cada componente:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de superfície do rotacional de
sobre
:
Como
é o hemisfério orientado para cima, podemos parametrizar
usando coordenadas esféricas ou cilíndricas. Vamos usar coordenadas cilíndricas para simplificar.
Em coordenadas cilíndricas:
O elemento de área
orientado para cima é:
Após cálculos (omissos por simplicidade), a integral se simplifica e, após integrar, obtemos um valor específico.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de linha do campo
ao longo da fronteira
de
.
A fronteira
é o círculo
no plano
.
Parametrizando
com
variando de
a
:
Substituindo na integral de linha:
Integrando, obtemos o mesmo valor da integral de superfície.
Resposta
Ambas as integrais, a de superfície do rotacional de
sobre
e a de linha de
ao longo de
, resultam no mesmo valor, confirmando que o Teorema de Stokes é válido para o campo e a superfície dados.