Mostre que fx(0, y)=-y, forall y in R e fy(x, 0)=x, forall x in R para
f(x, y)=ll x y(x^2-y^2)x^2+y^2 & , se (x, y) neq(0,0) 0 & , se (x, y)=(0,0) (Dica: use a definição, os limites) çã

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma função f(x, y) = x y (x^2 - y^2)x^2 + y^2 & se (x, y) neq (0, 0) 0 & se (x, y) = (0, 0) definida por partes:
fx(0, y) = -y, forall y in R
O objetivo é mostrar que as derivadas parciais de fy(x, 0) = x, forall x in R em relação a e no ponto e , respectivamente, são dadas por:
Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que envolve limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar fx(0, y) = limh to 0 f(0 + h, y) - f(0, y)h . A derivada parcial de fx(0, y) = limh to 0 f(h, y)h em relação a no ponto é definida por:
Sabemos que quando , então a expressão fica:

Passo 3

Agora, substituímos f(h, y) = h y (h^2 - y^2)h^2 + y^2 na expressão:
fx(0, y) = limh to 0 h y (h^2 - y^2)h^2 + y^2h = limh to 0 y (h^2 - y^2)h^2 + y^2
Substituindo na derivada:

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro do limite:
y (h^2 - y^2)h^2 + y^2 = y cdot h^2 - y^2h^2 + y^2 = y cdot -y^2 + h^2h^2 + y^2 = y cdot ( -y^2h^2 + y^2 + h^2h^2 + y^2 )
À medida que fx(0, y) = y cdot ( -y^2y^2 ) = y cdot (-1) = -y tende a 0, tende a 0, então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar fy(x, 0) = limk to 0 f(x, 0 + k) - f(x, 0)k . A derivada parcial de fy(x, 0) = limk to 0 f(x, k)k em relação a no ponto é definida por:
Sabemos que quando , então a expressão fica:

Passo 6

Substituímos f(x, k) = x k (x^2 - k^2)x^2 + k^2 na expressão:
fy(x, 0) = limk to 0 x k (x^2 - k^2)x^2 + k^2k = limk to 0 x (x^2 - k^2)x^2 + k^2
Substituindo na derivada:

Passo 7

Simplificamos a expressão dentro do limite:
x (x^2 - k^2)x^2 + k^2 = x cdot x^2 - k^2x^2 + k^2 = x cdot ( x^2x^2 + k^2 - k^2x^2 + k^2 )
À medida que fy(x, 0) = x cdot ( x^2x^2 ) = x cdot 1 = x tende a 0, tende a 0, então:

Resposta

Portanto, mostramos que:
fx(0, y) = -y, forall y in R
fy(x, 0) = x, forall x in R

Exercícios relacionados