Mostre que
e
para
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma função
definida por partes:
O objetivo é mostrar que as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
e
, respectivamente, são dadas por:
Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que envolve limites.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. A derivada parcial de
em relação a
no ponto
é definida por:
Sabemos que
quando
, então a expressão fica:
Passo 3
Agora, substituímos
na expressão:
Substituindo na derivada:
Passo 4
Simplificamos a expressão dentro do limite:
À medida que
tende a 0,
tende a 0, então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
. A derivada parcial de
em relação a
no ponto
é definida por:
Sabemos que
quando
, então a expressão fica:
Passo 6
Substituímos
na expressão:
Substituindo na derivada:
Passo 7
Simplificamos a expressão dentro do limite:
À medida que
tende a 0,
tende a 0, então:
Resposta
Portanto, mostramos que: