Mostre que e para
çã

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma função definida por partes:
O objetivo é mostrar que as derivadas parciais de em relação a e no ponto e , respectivamente, são dadas por:
Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que envolve limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . A derivada parcial de em relação a no ponto é definida por:
Sabemos que quando , então a expressão fica:

Passo 3

Agora, substituímos na expressão:
Substituindo na derivada:

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro do limite:
À medida que tende a 0, tende a 0, então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar . A derivada parcial de em relação a no ponto é definida por:
Sabemos que quando , então a expressão fica:

Passo 6

Substituímos na expressão:
Substituindo na derivada:

Passo 7

Simplificamos a expressão dentro do limite:
À medida que tende a 0, tende a 0, então:

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Encontre uma equação para o plano tangente à superfície dada por no ponto , em que e . (Comece encontrando .)
Calcule e de
(b) Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo e é o hemisfério , com orientação para cima.
Um dado vermelho e um branco são jogados, qual a probabilidade que o resultado do dado vermelho seja maior que a do branco?