Encontre uma equação para o plano tangente à superfície dada por f(x, y) = 4*x^2 - y^2 + 2*y no ponto P = (x0, y0, z0), em que x0 = -1 e y0 = 2. (Comece encontrando z0 = f(x0, y0).)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por no ponto , onde e . Para isso, vamos precisar calcular utilizando a função dada e depois encontrar as derivadas parciais de em relação a e no ponto .

Passo 2

Vamos começar calculando . Usamos a função e substituímos e :

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação para encontrar o valor de :
Então, .

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Primeiro, a derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 6

Com as derivadas parciais encontradas, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente é:
Substituindo os valores que temos:

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
Distribuindo os termos:
Reagrupando os termos:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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