Encontre uma equação para o plano tangente à superfície dada por
no ponto
, em que
e
. (Comece encontrando
.)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por
no ponto
, onde
e
. Para isso, vamos precisar calcular
utilizando a função dada e depois encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
.
Passo 2
Vamos começar calculando
. Usamos a função
e substituímos
e
:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação para encontrar o valor de
:
Então,
.
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função
muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 6
Com as derivadas parciais encontradas, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Distribuindo os termos:
Reagrupando os termos:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é:
Exercícios relacionados
Calcule
e
de
Encontre a solução do PVI dado pela equação
e pela condição inicial
.
Mostre que
e
para
(b) Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo
e
é o hemisfério
, com orientação para cima.