(b) Em vista de (a), explique por que a equação
lim x 2 x^2+x-6x-2=lim x 2(x+3)
está correta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. A questão pede para explicar por que a equação
lim x 2 x^2+x-6x-2=lim x 2(x+3)
está correta. Estamos lidando com limites envolvendo funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios.

Passo 2

Vamos analisar a expressão do lado esquerdo:
x^2+x-6x-2
Para facilitar o cálculo do limite, é útil simplificar essa expressão. Isso significa que precisamos fatorar o numerador .

Passo 3

Fatorando o numerador 3 times (-2) = -6 e 3 + (-2) = 1 , buscamos dois números que multiplicados dão x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) (o termo constante) e somados dão (o coeficiente de ). Esses números são e , porque:
Portanto, podemos escrever:

Passo 4

Substituindo essa fatoração na expressão original, temos:
(x + 3)(x - 2)x - 2
Agora, podemos simplificar a fração cancelando o termo no numerador e no denominador, desde que (pois isso evitaria uma divisão por zero).

Passo 5

Após simplificar, a expressão fica:
x + 3
Então, o limite se reduz a:
lim x 2 (x + 3)

Passo 6

Agora, calcular o limite de lim x 2 (x + 3) = 2 + 3 = 5 quando tende a é direto. Basta substituir por :

Resposta

Portanto, a equação
lim x 2 x^2+x-6x-2=lim x 2(x+3)
está correta porque, ao fatorar e simplificar a expressão original, chegamos a , cujo limite quando tende a é igual a .

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