(b) É
isomorfo a
? Em caso afirmativo forneça uma prova; em casa negativo forneça um contra-exemplo.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Vamos analisar se o conjunto
é isomorfo ao conjunto dos números reais
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, subespaços, dimensão e isomorfismo entre espaços vetoriais. O objetivo é determinar se existe uma correspondência linear e bijetiva entre
e
.
Passo 2
Entendendo o Espaço
e o Subconjunto
O espaço
consiste em todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Esse espaço tem dimensão 4, já que uma base pode ser
.
O conjunto
é um subespaço de
definido pela condição
. Isso significa que estamos considerando apenas os polinômios em
que se anulam em
.
Passo 3
Determinação da Dimensão de
Para encontrar a dimensão de
, observamos que a condição
impõe uma restrição linear aos coeficientes dos polinômios. Em um espaço de dimensão 4, uma única restrição linear reduz a dimensão do subespaço em 1. Portanto,
tem dimensão
.
Passo 4
Analisando a Dimensão de
O conjunto
considerado como espaço vetorial sobre si mesmo tem dimensão 1, já que qualquer número real pode ser visto como múltiplo do vetor 1.
Passo 5
Comparando as Dimensões para Verificar Isomorfismo
Para que dois espaços vetoriais sejam isomorfos, eles precisam ter a mesma dimensão. Aqui,
tem dimensão 3 e
tem dimensão 1.
Resposta
Não,
não é isomorfo a
, pois
é um espaço vetorial de dimensão 3, enquanto
tem dimensão 1, e espaços de dimensões diferentes não podem ser isomorfos.