(b) É W=p in P3(R: p(-1)=0) isomorfo a R ? Em caso afirmativo forneça uma prova; em casa negativo forneça um contra-exemplo.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Vamos analisar se o conjunto é isomorfo ao conjunto dos números reais . Para isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, subespaços, dimensão e isomorfismo entre espaços vetoriais. O objetivo é determinar se existe uma correspondência linear e bijetiva entre e .

Passo 2

Entendendo o Espaço e o Subconjunto
O espaço consiste em todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Esse espaço tem dimensão 4, já que uma base pode ser .
O conjunto é um subespaço de definido pela condição . Isso significa que estamos considerando apenas os polinômios em que se anulam em .

Passo 3

Determinação da Dimensão de
Para encontrar a dimensão de , observamos que a condição impõe uma restrição linear aos coeficientes dos polinômios. Em um espaço de dimensão 4, uma única restrição linear reduz a dimensão do subespaço em 1. Portanto, tem dimensão .

Passo 4

Analisando a Dimensão de
O conjunto considerado como espaço vetorial sobre si mesmo tem dimensão 1, já que qualquer número real pode ser visto como múltiplo do vetor 1.

Passo 5

Comparando as Dimensões para Verificar Isomorfismo
Para que dois espaços vetoriais sejam isomorfos, eles precisam ter a mesma dimensão. Aqui, tem dimensão 3 e tem dimensão 1.

Resposta

Não, não é isomorfo a , pois é um espaço vetorial de dimensão 3, enquanto tem dimensão 1, e espaços de dimensões diferentes não podem ser isomorfos.

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