Mostre que no corpo ordenado dos números reais valem:
se
e daí conclui-se que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, no conjunto dos números reais, se um número
é maior ou igual a zero (
), então o oposto desse número (
) é menor ou igual a zero (
). E a partir disso, concluir que
. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de álgebra e propriedades de números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar um número por -1. Quando você multiplica um número positivo por -1, o resultado é negativo, e vice-versa. Essa é uma propriedade fundamental dos números reais.
Passo 3
Sabemos que
. Isso significa que
é um número positivo ou zero. Agora, se multiplicarmos ambos os lados dessa desigualdade por -1, precisamos lembrar que multiplicar ou dividir ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo inverte o sentido da desigualdade.
Passo 4
Aplicando essa regra:
Simplificando:
O que podemos reescrever como:
Então, mostramos que se
, então
.
Passo 5
Agora, para concluir que
, vamos aplicar o que acabamos de provar. Tomemos
, que obviamente satisfaz
.
Substituindo na desigualdade que mostramos:
Mas sabemos que
não é igual a zero, então na verdade:
Resposta
Portanto, demonstramos que
quando
, e consequentemente,
.