Mostre que no corpo ordenado dos números reais valem: -x <= 0 se 0 <= x e daí conclui-se que -1<0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, no conjunto dos números reais, se um número é maior ou igual a zero ( ), então o oposto desse número ( ) é menor ou igual a zero ( ). E a partir disso, concluir que . Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de álgebra e propriedades de números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar um número por -1. Quando você multiplica um número positivo por -1, o resultado é negativo, e vice-versa. Essa é uma propriedade fundamental dos números reais.

Passo 3

Sabemos que . Isso significa que é um número positivo ou zero. Agora, se multiplicarmos ambos os lados dessa desigualdade por -1, precisamos lembrar que multiplicar ou dividir ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo inverte o sentido da desigualdade.

Passo 4

Aplicando essa regra:
-1 times 0 >= -1 times x
Simplificando:
0 >= -x
O que podemos reescrever como:
-x <= 0
Então, mostramos que se , então .

Passo 5

Agora, para concluir que -1 <= 0 , vamos aplicar o que acabamos de provar. Tomemos -1 < 0 , que obviamente satisfaz .
Substituindo na desigualdade que mostramos:
Mas sabemos que não é igual a zero, então na verdade:

Resposta

Portanto, demonstramos que quando , e consequentemente, .

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