Verifique se os vetores abaixo são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD).
b) u=2 imath-3 jmath-k e v=imath+jmath+2 k Resp. LI

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se os vetores dados são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Estamos lidando com vetores no espaço tridimensional, então vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinação linear e a definição de independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem linearmente independentes. Dois vetores são LI se a única maneira de escrever uma combinação linear deles igual a zero é usando coeficientes zero. Ou seja, se temos , então e .

Passo 3

Vamos escrever os vetores que temos:
u = 2imath - 3jmath - k
v = imath + jmath + 2k
Queremos encontrar se existem escalares au + bv = 0 e diferentes de zero que satisfazem:

Passo 4

Vamos montar as equações resultantes dessa combinação linear:
a(2) + b(1) = 0 (componente imath)
a(-3) + b(1) = 0 (componente jmath)
a(-1) + b(2) = 0 (componente k)

Passo 5

Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas:
2a + b = 0 (1)
-3a + b = 0 (2)
- a + 2b = 0 (3)
Vamos resolver esse sistema para ver se existe uma solução diferente de e .

Passo 6

Subtraindo a equação (2) da equação (1):
2a + b - (-3a + b) = 0 - 0
5a = 0 Rightarrow a = 0
Usando 0 + b = 0 Rightarrow b = 0 na equação (1):
Como a única solução é e , isso significa que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes (LI).

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