(b)
e
tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas coleções de números reais:
-
: todos os números reais que são menores ou iguais a 2. -
: todos os números reais que são maiores ou iguais a -1.
E temos uma função
definida por
. Vamos analisar essa função para entender como ela se comporta de A para B.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa função faz. A expressão
é uma função quadrática, ou seja, é um polinômio de segundo grau. Essas funções geralmente formam parábolas quando desenhadas no gráfico.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vértice dessa parábola para saber onde ela atinge seu valor mínimo ou máximo. A fórmula para encontrar o vértice de uma parábola na forma
é
.
Aqui,
e
, então:
Então, o vértice está em
.
Passo 4
Vamos calcular o valor de
no vértice:
Então, o ponto mais baixo da parábola é
.
Passo 5
Sabendo que a parábola abre para cima (já que o coeficiente de
é positivo), isso significa que, para
, a função
está aumentando à medida que
diminui. Portanto, o menor valor de
é -1 e ela aumenta sem limite à medida que
vai para menos infinito.
Passo 6
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora, ou seja, se todo
em
tem um
correspondente em
tal que
.
Como
e o menor valor de
é exatamente -1, e a função pode atingir todos os valores maiores que -1, então a função
é sobrejetora.
Passo 7
Vamos verificar se a função é injetora, ou seja, se cada elemento de
mapeia para um elemento distinto em
. Observando a forma da parábola, percebemos que para cada valor de
acima de -1, existem dois valores de
que resultam nesse
. Porém, nosso domínio é
, ou seja, consideramos apenas uma das ‘metades’ da parábola. Nesse caso, para cada
, existe apenas um
em
que mapeia para esse
. Portanto, a função
é injetora.
Resposta
A função
definida por
é tanto injetora quanto sobrejetora, ou seja, é uma bijeção entre os conjuntos
e
.
Exercícios relacionados
En las siguientes funciones comprobar que las derivadas parciales mixtas son iguales:
con
Prove que cada função abaixo é bijetora e determine sua inversa.
Hallar las derivadas parciales segundas de:
Hallar las derivadas parciales de: