(b) A = {x in R | x <= 2} e B = {y ∈ R | y ≥ -1}
f: A -> B tal que f(x) = x^2 - 4x + 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas coleções de números reais:
  • : todos os números reais que são menores ou iguais a 2.
  • : todos os números reais que são maiores ou iguais a -1.
E temos uma função definida por . Vamos analisar essa função para entender como ela se comporta de A para B.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa função faz. A expressão é uma função quadrática, ou seja, é um polinômio de segundo grau. Essas funções geralmente formam parábolas quando desenhadas no gráfico.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vértice dessa parábola para saber onde ela atinge seu valor mínimo ou máximo. A fórmula para encontrar o vértice de uma parábola na forma é .
Aqui, e , então:
Então, o vértice está em .

Passo 4

Vamos calcular o valor de no vértice:
Então, o ponto mais baixo da parábola é .

Passo 5

Sabendo que a parábola abre para cima (já que o coeficiente de é positivo), isso significa que, para , a função está aumentando à medida que diminui. Portanto, o menor valor de é -1 e ela aumenta sem limite à medida que vai para menos infinito.

Passo 6

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora, ou seja, se todo em tem um correspondente em tal que .
Como e o menor valor de é exatamente -1, e a função pode atingir todos os valores maiores que -1, então a função é sobrejetora.

Passo 7

Vamos verificar se a função é injetora, ou seja, se cada elemento de mapeia para um elemento distinto em . Observando a forma da parábola, percebemos que para cada valor de acima de -1, existem dois valores de que resultam nesse . Porém, nosso domínio é , ou seja, consideramos apenas uma das ‘metades’ da parábola. Nesse caso, para cada , existe apenas um em que mapeia para esse . Portanto, a função é injetora.

Resposta

A função definida por é tanto injetora quanto sobrejetora, ou seja, é uma bijeção entre os conjuntos e .

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