Resolva a EDP a seguir:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para resolver a Equação Diferencial Parcial (EDP) de Laplace, que é
, dentro do círculo unitário
. Além disso, temos uma condição de contorno que nos diz como a função
se comporta na borda do círculo:
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares e a teoria das séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar de coordenadas cartesianas para polares porque o problema tem simetria circular. Nas coordenadas polares, a EDP de Laplace fica:
Passo 3
A solução geral dessa equação em coordenadas polares pode ser escrita como uma série de potências de
multiplicadas por funções trigonométricas de
. Para evitar singularidades no centro, descartamos os termos com
. Então, a solução assume a forma:
Passo 4
Agora, aplicamos a condição de contorno na borda do círculo, onde
. Temos:
Isso significa que todos os coeficientes
e
devem ser zero, exceto quando
, porque a função de contorno é
.
Passo 5
Assim, a solução simplifica para:
Agora, aplicamos novamente a condição de contorno para encontrar
:
Resposta
A solução da EDP é:
Exercícios relacionados
Suponha que a região sólida
e a superfície
, orientada pelo campo unitário normal
, satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(e) , para quaisquer funções suaves
e
.
(e)
Verifique que a função
é harmônica não nula e tal que, para todo ponto
da circunferência
, vale
. Por que isso não contradiz o resultado obtido no exercício 7 ? Justifique.
Resolva a EDP a seguir:
(a) , sendo
a bola unitária fechada centrada na origem de
.
(a)
(b)
, quando o ponto ordinário for
.