Resolva a EDP a seguir:
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para resolver a Equação Diferencial Parcial (EDP) de Laplace, que é , dentro do círculo unitário . Além disso, temos uma condição de contorno que nos diz como a função se comporta na borda do círculo: . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares e a teoria das séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar de coordenadas cartesianas para polares porque o problema tem simetria circular. Nas coordenadas polares, a EDP de Laplace fica:

Passo 3

A solução geral dessa equação em coordenadas polares pode ser escrita como uma série de potências de multiplicadas por funções trigonométricas de . Para evitar singularidades no centro, descartamos os termos com . Então, a solução assume a forma:

Passo 4

Agora, aplicamos a condição de contorno na borda do círculo, onde . Temos:
Isso significa que todos os coeficientes e devem ser zero, exceto quando , porque a função de contorno é .

Passo 5

Assim, a solução simplifica para:
Agora, aplicamos novamente a condição de contorno para encontrar :

Resposta

A solução da EDP é:

Exercícios relacionados

Suponha que a região sólida e a superfície , orientada pelo campo unitário normal , satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(e) , para quaisquer funções suaves e .
Verifique que a função é harmônica não nula e tal que, para todo ponto da circunferência , vale . Por que isso não contradiz o resultado obtido no exercício 7 ? Justifique.
Resolva a EDP a seguir:
(a) , sendo a bola unitária fechada centrada na origem de .
(b) , quando o ponto ordinário for .