Resolva a EDP a seguir:
(b) clDe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para resolver a Equação Diferencial Parcial (EDP) de Laplace, que é , dentro do círculo unitário . Além disso, temos uma condição de contorno que nos diz como a função se comporta na borda do círculo: . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares e a teoria das séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar de coordenadas cartesianas para polares porque o problema tem simetria circular. Nas coordenadas polares, a EDP de Laplace fica:
De

Passo 3

A solução geral dessa equação em coordenadas polares pode ser escrita como uma série de potências de u(r, theta) = a0 + sumn=1^infty ( an r^n cos(ntheta) + bn r^n sin(ntheta) ) multiplicadas por funções trigonométricas de . Para evitar singularidades no centro, descartamos os termos com . Então, a solução assume a forma:

Passo 4

Agora, aplicamos a condição de contorno na borda do círculo, onde u(1, theta) = a0 + sumn=1^infty ( an cos(ntheta) + bn sin(ntheta) ) = cos(2theta) . Temos:
Isso significa que todos os coeficientes e devem ser zero, exceto quando , porque a função de contorno é .

Passo 5

Assim, a solução simplifica para:
u(r, theta) = a2 r^2 cos(2theta)
Agora, aplicamos novamente a condição de contorno para encontrar u(1, theta) = a2 cdot 1^2 cos(2theta) = cos(2theta) implies a2 = 1 :

Resposta

A solução da EDP é:
u(r, theta) = r^2 cos(2theta)

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