(b)
é um ideal de
? Justificar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se o conjunto dos números inteiros,
, é um ideal do conjunto dos números racionais,
. Estamos trabalhando com Teoria dos Anéis, especificamente com o conceito de ideais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal e verificar se
cumpre os requisitos para ser um ideal em
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um anel. Um anel é um conjunto com duas operações: adição e multiplicação, que seguem certas propriedades, como a associatividade e a distributividade. Agora, um ideal é um subconjunto de um anel que é, ele mesmo, um anel e tem a propriedade de que, quando você multiplica qualquer elemento do anel pelo elemento do ideal, o resultado ainda está no ideal.
Passo 3
Vamos verificar se
é um ideal de
. Primeiro, sabemos que
é um anel e está contido em
. Agora, para
ser um ideal de
, qualquer multiplicação de um racional por um inteiro deve resultar em um inteiro.
Passo 4
Vamos testar isso com um exemplo. Considere
e
. Multiplicando, temos
, que é um inteiro, então parece ok. Mas e se pegarmos
e
? Então
, ainda inteiro. Parece que está funcionando.
Passo 5
No entanto, precisamos considerar todos os casos. O grande problema acontece quando multiplicamos um racional que não é inteiro por um inteiro. Por exemplo,
e
. Então,
, que não é um inteiro. Isso mostra que nem toda multiplicação de um elemento de
por um de
resulta em um elemento de
.
Resposta
Não,
não é um ideal de
, porque existem números racionais e inteiros cuja multiplicação não resulta em um número inteiro, violando a condição necessária para ser um ideal.