(b) Z é um ideal de Q ? Justificar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se o conjunto dos números inteiros, Z, é um ideal do conjunto dos números racionais, Q. Estamos trabalhando com Teoria dos Anéis, especificamente com o conceito de ideais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal e verificar se Z cumpre os requisitos para ser um ideal em Q.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um anel. Um anel é um conjunto com duas operações: adição e multiplicação, que seguem certas propriedades, como a associatividade e a distributividade. Agora, um ideal é um subconjunto de um anel que é, ele mesmo, um anel e tem a propriedade de que, quando você multiplica qualquer elemento do anel pelo elemento do ideal, o resultado ainda está no ideal.

Passo 3

Vamos verificar se Z é um ideal de Q. Primeiro, sabemos que Z é um anel e está contido em Q. Agora, para Z ser um ideal de Q, qualquer multiplicação de um racional por um inteiro deve resultar em um inteiro.

Passo 4

Vamos testar isso com um exemplo. Considere q = 12 in Q e z = 2 in Z. Multiplicando, temos q cdot z = 12 cdot 2 = 1, que é um inteiro, então parece ok. Mas e se pegarmos q = 13 e z = 3? Então q cdot z = 13 cdot 3 = 1, ainda inteiro. Parece que está funcionando.

Passo 5

No entanto, precisamos considerar todos os casos. O grande problema acontece quando multiplicamos um racional que não é inteiro por um inteiro. Por exemplo, q = 12 e z = 1. Então, q cdot z = 12 cdot 1 = 12, que não é um inteiro. Isso mostra que nem toda multiplicação de um elemento de Q por um de Z resulta em um elemento de Z.

Resposta

Não, Z não é um ideal de Q, porque existem números racionais e inteiros cuja multiplicação não resulta em um número inteiro, violando a condição necessária para ser um ideal.

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