(a)
é um subanel de
? Justificar.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber se o conjunto dos números inteiros, denotado por
, é um subanel do conjunto dos números racionais,
. Para resolver isso, precisamos conhecer o que é um subanel e quais são os critérios para um conjunto ser considerado como tal dentro de outro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto equipado com duas operações: adição e multiplicação. Para que um conjunto seja um anel, ele deve satisfazer algumas propriedades, como a existência de um elemento neutro para a adição, a existência de inversos aditivos, a associatividade da adição e da multiplicação, e a distributividade da multiplicação sobre a adição.
Passo 3
Um subanel é, basicamente, um subconjunto de um anel que por si só também forma um anel com as mesmas operações. Ou seja, para
ser um subanel de
, ele precisa:
- Ser não vazio.
- Ser fechado em relação à adição e à multiplicação.
- Conter o elemento neutro da adição (que é 0).
- Conter os inversos aditivos de seus elementos.
Passo 4
Vamos verificar cada uma dessas condições para
dentro de
:
- Não vazio: Claro,
contém zero. - Fechado sob adição: A soma de dois inteiros é um inteiro.
- Fechado sob multiplicação: O produto de dois inteiros é um inteiro.
- Contém o inverso aditivo: Para cada inteiro
, existe que também é um inteiro.
Até aqui, tudo parece bom!
Passo 5
No entanto, é importante notar que, para ser um subanel,
também precisa compartilhar o mesmo elemento neutro multiplicativo que
, que é 1. Como 1 está em
, essa condição também é satisfeita.
Passo 6
Portanto, todas as condições para que
seja um subanel de
são atendidas. Não há elementos em
que quebrem essas propriedades quando consideradas em
.
Resposta
Sim,
é um subanel de
porque satisfaz todas as condições necessárias: é não vazio, fechado sob adição e multiplicação, contém o elemento neutro da adição e os inversos aditivos, além de compartilhar o mesmo elemento neutro multiplicativo que
.
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Seja
um corpo
(b) Seja . Verificar que
dada por
é um homomorfismo de aneis.
(b) Seja
(b)
é um ideal de
? Justificar.
Seja o conjunto
.
(a) Verificar que é um Domínio de Integridade.
(a) Verificar que
Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola