(a) Z é um subanel de Q ? Justificar.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber se o conjunto dos números inteiros, denotado por Z, é um subanel do conjunto dos números racionais, Q. Para resolver isso, precisamos conhecer o que é um subanel e quais são os critérios para um conjunto ser considerado como tal dentro de outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto equipado com duas operações: adição e multiplicação. Para que um conjunto seja um anel, ele deve satisfazer algumas propriedades, como a existência de um elemento neutro para a adição, a existência de inversos aditivos, a associatividade da adição e da multiplicação, e a distributividade da multiplicação sobre a adição.

Passo 3

Um subanel é, basicamente, um subconjunto de um anel que por si só também forma um anel com as mesmas operações. Ou seja, para Z ser um subanel de Q, ele precisa:
  1. Ser não vazio.
  2. Ser fechado em relação à adição e à multiplicação.
  3. Conter o elemento neutro da adição (que é 0).
  4. Conter os inversos aditivos de seus elementos.

Passo 4

Vamos verificar cada uma dessas condições para Z dentro de Q:
  1. Não vazio: Claro, Z contém zero.
  2. Fechado sob adição: A soma de dois inteiros é um inteiro.
  3. Fechado sob multiplicação: O produto de dois inteiros é um inteiro.
  4. Contém o inverso aditivo: Para cada inteiro a, existe -a que também é um inteiro.
Até aqui, tudo parece bom!

Passo 5

No entanto, é importante notar que, para ser um subanel, Z também precisa compartilhar o mesmo elemento neutro multiplicativo que Q, que é 1. Como 1 está em Z, essa condição também é satisfeita.

Passo 6

Portanto, todas as condições para que Z seja um subanel de Q são atendidas. Não há elementos em Z que quebrem essas propriedades quando consideradas em Q.

Resposta

Sim, Z é um subanel de Q porque satisfaz todas as condições necessárias: é não vazio, fechado sob adição e multiplicação, contém o elemento neutro da adição e os inversos aditivos, além de compartilhar o mesmo elemento neutro multiplicativo que Q.

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