Calcule de modo que seja gerndo por .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o valor de tal que o vetor seja gerado pelos vetores e . Isso quer dizer que precisamos encontrar de forma que possa ser escrito como uma combinação linear de e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão de combinação linear. Queremos encontrar escalares e tais que:
Substituindo os vetores, temos:

Passo 3

Agora, vamos expandir a equação componente por componente:
Repare que na terceira equação, , então temos:
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 4

Da terceira equação, podemos isolar :
Agora, vamos substituir nas duas primeiras equações para resolver em termos de e :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos simplificar as equações:
Para a primeira equação:
Para que isso seja verdadeiro, ou ou . Se , então .
Vamos verificar cada caso.

Passo 6

Caso 1:
Substituindo na segunda equação:
Isso não faz sentido, então não pode ser zero.
Caso 2:
Resolvendo:

Passo 7

Agora, vamos verificar e na segunda equação para ver qual deles satisfaz.
Para :
Não funciona.
Para :
Funciona!

Resposta

O valor de é .

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