Calcule m de modo que baru=(2,1,2) seja gerndo por barv=(1-m^2, 1-m, 0), barw=(m, m, m).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o valor de tal que o vetor seja gerado pelos vetores e . Isso quer dizer que precisamos encontrar de forma que possa ser escrito como uma combinação linear de e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão de combinação linear. Queremos encontrar escalares baru = a barv + b barw e (2, 1, 2) = a(1 - m^2, 1 - m, 0) + b(m, m, m) tais que:
Substituindo os vetores, temos:

Passo 3

Agora, vamos expandir a equação componente por componente:
2 = a(1 - m^2) + b m 1 = a(1 - m) + b m 2 = a cdot 0 + b m
Repare que na terceira equação, 2 = b m , então temos:
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 4

Da terceira equação, podemos isolar b = 2m :
2 = a(1 - m^2) + 2m cdot m 1 = a(1 - m) + 2m cdot m
Agora, vamos substituir 2 = a(1 - m^2) + 2 1 = a(1 - m) + 2 nas duas primeiras equações para resolver em termos de e :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos simplificar as equações:
Para a primeira equação:
2 = a(1 - m^2) + 2 2 - 2 = a(1 - m^2) 0 = a(1 - m^2)
Para que isso seja verdadeiro, ou ou . Se , então .
Vamos verificar cada caso.

Passo 6

Caso 1: 1 = 0 cdot (1 - m) + 2 1 = 2
Substituindo 1 - m^2 = 0 m^2 = 1 m = pm 1 na segunda equação:
Isso não faz sentido, então não pode ser zero.
Caso 2:
Resolvendo:

Passo 7

Agora, vamos verificar 1 = a(1 - 1) + 2 1 = 0 + 2 1 = 2 e 1 = a(1 - (-1)) + 2 1 = a(2) + 2 1 - 2 = 2a -1 = 2a a = -12 na segunda equação para ver qual deles satisfaz.
Para :
Não funciona.
Para :
Funciona!

Resposta

O valor de é .

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