Seja
um corpo
(b) Seja
. Verificar que
dada por
é um homomorfismo de aneis.
(b) Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar que a função
, que pega um polinômio em
e retorna seu termo constante
, é um homomorfismo de anéis. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra, mais especificamente de Teoria de Anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo de anéis e como verificar se uma função satisfaz essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um homomorfismo de anéis. Um homomorfismo entre dois anéis é uma função que preserva as operações de adição e multiplicação. Ou seja, para dois anéis
e
, uma função
é um homomorfismo de anéis se, para quaisquer elementos
:
-
(preserva a adição) -
(preserva a multiplicação) -
(preserva o elemento identidade multiplicativo)
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função
.
Passo 3
Verificando a preservação da adição:
Sejam dois polinômios
e
em
.
A soma
é igual a
.
Aplicando
:
Por outro lado:
Portanto:
Isso mostra que
preserva a adição.
Passo 4
Verificando a preservação da multiplicação:
Vamos multiplicar os polinômios
e
:
O termo constante desse produto é
.
Aplicando
:
Por outro lado:
Logo:
Isso mostra que
preserva a multiplicação.
Passo 5
Verificando a preservação do elemento identidade:
O elemento identidade no anel
é o polinômio
, que é simplesmente
.
Aplicando
:
O elemento identidade no anel
é também
.
Então:
Isso mostra que
preserva o elemento identidade multiplicativo.
Resposta
A função
definida por
é, de fato, um homomorfismo de anéis, pois preserva a adição, a multiplicação e o elemento identidade.