Seja K um corpo
(b) Seja p(x)=an x^n+cdots+a1 x+a0 in K[x]. Verificar que phi0: K[x] longrightarrow K dada por phi0(p(x))=a0 é um homomorfismo de aneis.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar que a função phi0, que pega um polinômio em K[x] e retorna seu termo constante a0, é um homomorfismo de anéis. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra, mais especificamente de Teoria de Anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo de anéis e como verificar se uma função satisfaz essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um homomorfismo de anéis. Um homomorfismo entre dois anéis é uma função que preserva as operações de adição e multiplicação. Ou seja, para dois anéis A e B, uma função f: A B é um homomorfismo de anéis se, para quaisquer elementos a, b in A:
  1. f(a + b) = f(a) + f(b) (preserva a adição)
  2. f(a cdot b) = f(a) cdot f(b) (preserva a multiplicação)
  3. f(1A) = 1B (preserva o elemento identidade multiplicativo)
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função phi0.

Passo 3

Verificando a preservação da adição:
Sejam dois polinômios p(x) = an x^n + cdots + a1 x + a0 e q(x) = bm x^m + cdots + b1 x + b0 em K[x].
A soma p(x) + q(x) é igual a (an + bn) x^n + cdots + (a1 + b1) x + (a0 + b0).
Aplicando phi0:
phi0(p(x) + q(x)) = a0 + b0
Por outro lado:
phi0(p(x)) + phi0(q(x)) = a0 + b0
Portanto:
phi0(p(x) + q(x)) = phi0(p(x)) + phi0(q(x))
Isso mostra que phi0 preserva a adição.

Passo 4

Verificando a preservação da multiplicação:
Vamos multiplicar os polinômios p(x) e q(x):
p(x) cdot q(x) = ( an x^n + cdots + a0 ) ( bm x^m + cdots + b0 )
O termo constante desse produto é a0 cdot b0.
Aplicando phi0:
phi0(p(x) cdot q(x)) = a0 cdot b0
Por outro lado:
phi0(p(x)) cdot phi0(q(x)) = a0 cdot b0
Logo:
phi0(p(x) cdot q(x)) = phi0(p(x)) cdot phi0(q(x))
Isso mostra que phi0 preserva a multiplicação.

Passo 5

Verificando a preservação do elemento identidade:
O elemento identidade no anel K[x] é o polinômio 1, que é simplesmente 1 + 0x + 0x^2 + cdots.
Aplicando phi0:
phi0(1) = 1
O elemento identidade no anel K é também 1.
Então:
phi0(1) = 1
Isso mostra que phi0 preserva o elemento identidade multiplicativo.

Resposta

A função phi0: K[x] longrightarrow K definida por phi0(p(x)) = a0 é, de fato, um homomorfismo de anéis, pois preserva a adição, a multiplicação e o elemento identidade.

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