Seja um corpo
(b) Seja . Verificar que dada por é um homomorfismo de aneis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar que a função , que pega um polinômio em e retorna seu termo constante , é um homomorfismo de anéis. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra, mais especificamente de Teoria de Anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo de anéis e como verificar se uma função satisfaz essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um homomorfismo de anéis. Um homomorfismo entre dois anéis é uma função que preserva as operações de adição e multiplicação. Ou seja, para dois anéis e , uma função é um homomorfismo de anéis se, para quaisquer elementos :
(preserva a adição)
(preserva a multiplicação)
(preserva o elemento identidade multiplicativo)
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função .
Passo 3
Verificando a preservação da adição:
Sejam dois polinômios e em .
A soma é igual a .
Aplicando :
Por outro lado:
Portanto:
Isso mostra que preserva a adição.
Passo 4
Verificando a preservação da multiplicação:
Vamos multiplicar os polinômios e :
O termo constante desse produto é .
Aplicando :
Por outro lado:
Logo:
Isso mostra que preserva a multiplicação.
Passo 5
Verificando a preservação do elemento identidade:
O elemento identidade no anel é o polinômio , que é simplesmente .
Aplicando :
O elemento identidade no anel é também .
Então:
Isso mostra que preserva o elemento identidade multiplicativo.
Resposta
A função definida por é, de fato, um homomorfismo de anéis, pois preserva a adição, a multiplicação e o elemento identidade.