Seja o espaço vetorial munido da métrica . Determine as bolas fechadas de , através desta métrica.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial com uma métrica específica, que na verdade é a soma dos valores absolutos das coordenadas: . O conteúdo aqui envolve métricas em espaços vetoriais e bolas fechadas. Para resolver, vamos precisar entender como essa métrica funciona e como ela define uma bola fechada no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma bola fechada em um espaço métrico. Uma bola fechada centrada em um ponto com raio é o conjunto de todos os pontos tais que a distância entre e é menor ou igual a . Matematicamente, isso fica assim:
No nosso caso, a métrica é .

Passo 3

Vamos considerar a bola fechada centrada na origem para simplificar. Então, queremos todos os pontos que satisfazem:
Isso define a região que vamos chamar de bola fechada com raio na métrica dada.

Passo 4

Para visualizar isso, vamos analisar diferentes casos para e :
  1. Se e , a condição se torna .
  2. Se e , a condição é .
  3. Se e , a condição é .
  4. Se e , a condição é .

Passo 5

Cada uma dessas condições representa uma desigualdade linear que define uma região no plano. Ao juntar todas elas, a interseção dessas regiões forma um quadrado rotacionado em 45 graus em relação aos eixos coordenados. Esse quadrado é a nossa bola fechada na métrica .

Passo 6

Portanto, as bolas fechadas em com a métrica são quadrados com lados inclinados a 45 graus, centrados no ponto escolhido e com lado proporcional ao raio .

Resposta

As bolas fechadas de com a métrica são quadrados centrados no ponto escolhido, com lados inclinados em 45 graus em relação aos eixos coordenados, definidos pela desigualdade .

Exercícios relacionados

Calcule : ;
Calcule : ;
Calcule , onde .
Se são conjuntos fechados de , verifique que
é fechado.