Seja o espaço vetorial
munido da métrica
. Determine as bolas fechadas de
, através desta métrica.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial
com uma métrica específica, que na verdade é a soma dos valores absolutos das coordenadas:
. O conteúdo aqui envolve métricas em espaços vetoriais e bolas fechadas. Para resolver, vamos precisar entender como essa métrica funciona e como ela define uma bola fechada no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma bola fechada em um espaço métrico. Uma bola fechada centrada em um ponto
com raio
é o conjunto de todos os pontos
tais que a distância entre
e
é menor ou igual a
. Matematicamente, isso fica assim:
No nosso caso, a métrica é
.
Passo 3
Vamos considerar a bola fechada centrada na origem
para simplificar. Então, queremos todos os pontos
que satisfazem:
Isso define a região que vamos chamar de bola fechada com raio
na métrica dada.
Passo 4
Para visualizar isso, vamos analisar diferentes casos para
e
:
- Se
e , a condição se torna . - Se
e , a condição é . - Se
e , a condição é . - Se
e , a condição é .
Passo 5
Cada uma dessas condições representa uma desigualdade linear que define uma região no plano. Ao juntar todas elas, a interseção dessas regiões forma um quadrado rotacionado em 45 graus em relação aos eixos coordenados. Esse quadrado é a nossa bola fechada na métrica
.
Passo 6
Portanto, as bolas fechadas em
com a métrica
são quadrados com lados inclinados a 45 graus, centrados no ponto escolhido e com lado proporcional ao raio
.
Resposta
As bolas fechadas de
com a métrica
são quadrados centrados no ponto escolhido, com lados inclinados em 45 graus em relação aos eixos coordenados, definidos pela desigualdade
.
Exercícios relacionados
Calcule :
;
Calcule :
;
Calcule
, onde
.
Se
são conjuntos fechados de
, verifique que
é fechado.