Para , denote por o coeficiente de em . Mostre que se é um primo e é uma raíz p-ésima da unidade, então

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente mostrar que, para um polinômio de grau qualquer com coeficientes complexos, e um número primo , a soma dos coeficientes de em onde divide é igual a uma média envolvendo as raízes -ésimas da unidade. Aqui, vamos usar conceitos de polinômios, coeficientes e raízes da unidade para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa em . Isso representa o coeficiente de no polinômio . Se , então .

Passo 3

Nosso objetivo é somar todos os coeficientes onde divide . Isso é representado por:
Queremos mostrar que essa soma é igual a:
onde é uma raiz -ésima da unidade, ou seja, e .

Passo 4

Vamos lembrar que uma raiz -ésima da unidade satisfaz a equação e que as raízes da unidade têm a propriedade de que:
Isso porque são as raízes da equação .

Passo 5

Agora, vamos avaliar o polinômio nas diferentes raízes -ésimas da unidade. Escrevendo como:
ao calcular para , temos:

Passo 6

Vamos somar todas essas avaliações:
Isso pode ser reescrito separando os coeficientes:

Passo 7

Sabemos que é igual a:
á
Isso ocorre porque, se divide , então , e a soma é . Se não divide , a soma das raízes da unidade é zero.

Passo 8

Aplicando isso à nossa soma, temos:
Ou seja:

Passo 9

Finalmente, isolando a soma dos coeficientes que queremos:

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Sejam , sendo . Para , prove que o resto da divisão de por é igual a .
Resvolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja, , para isso, determine o valor da contante .


Seja um polinômio não nulo e de coeficientes complexos e um complexo dado. Mostre que é uma raíz de multiplicidade de se, e somente se, é uma raiz de multiplicidade de .
Mostre que, para quaisquer com e ,