Para
, denote por
o coeficiente de
em
. Mostre que se
é um primo e
é uma raíz p-ésima da unidade, então
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente mostrar que, para um polinômio
de grau qualquer com coeficientes complexos, e um número primo
, a soma dos coeficientes de
em
onde
divide
é igual a uma média envolvendo as raízes
-ésimas da unidade. Aqui, vamos usar conceitos de polinômios, coeficientes e raízes da unidade para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
em
. Isso representa o coeficiente de
no polinômio
. Se
, então
.
Passo 3
Nosso objetivo é somar todos os coeficientes
onde
divide
. Isso é representado por:
Queremos mostrar que essa soma é igual a:
onde
é uma raiz
-ésima da unidade, ou seja,
e
.
Passo 4
Vamos lembrar que uma raiz
-ésima da unidade
satisfaz a equação
e que as raízes da unidade têm a propriedade de que:
Isso porque são as raízes da equação
.
Passo 5
Agora, vamos avaliar o polinômio
nas diferentes raízes
-ésimas da unidade. Escrevendo
como:
ao calcular
para
, temos:
Passo 6
Vamos somar todas essas avaliações:
Isso pode ser reescrito separando os coeficientes:
Passo 7
Sabemos que
é igual a:
Isso ocorre porque, se
divide
, então
, e a soma é
. Se
não divide
, a soma das raízes da unidade é zero.
Passo 8
Aplicando isso à nossa soma, temos:
Ou seja:
Passo 9
Finalmente, isolando a soma dos coeficientes que queremos:
Resposta
Portanto, mostramos que:
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Sejam
, sendo
. Para
, prove que o resto da divisão de
por
é igual a
.
Resvolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja,
, para isso, determine o valor da contante
.
Seja
um polinômio não nulo e de coeficientes complexos e
um complexo dado. Mostre que
é uma raíz de multiplicidade
de
se, e somente se,
é uma raiz de multiplicidade
de
.
Mostre que, para quaisquer
com
e
,