Para f in C[X] backslash0, denote por [X^k] o coeficiente de X^k em f. Mostre que se p é um primo e omega neq 1 é uma raíz p-ésima da unidade, então
sump mid k[X^k]=1p(f(1)+f(omega)+cdots+f(omega^p-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente mostrar que, para um polinômio de grau qualquer com coeficientes complexos, e um número primo , a soma dos coeficientes de em onde divide é igual a uma média envolvendo as raízes -ésimas da unidade. Aqui, vamos usar conceitos de polinômios, coeficientes e raízes da unidade para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa em . Isso representa o coeficiente de no polinômio . Se , então .

Passo 3

Nosso objetivo é somar todos os coeficientes sump mid k [X^k] = ap + a2p + a3p + dots onde 1p(f(1) + f(omega) + cdots + f(omega^p-1)) divide . Isso é representado por:
Queremos mostrar que essa soma é igual a:
onde é uma raiz -ésima da unidade, ou seja, e .

Passo 4

Vamos lembrar que uma raiz 1 + omega + omega^2 + dots + omega^p-1 = 0 -ésima da unidade satisfaz a equação e que as raízes da unidade têm a propriedade de que:
Isso porque são as raízes da equação .

Passo 5

Agora, vamos avaliar o polinômio f(X) = a0 + a1X + a2X^2 + dots + anX^n nas diferentes raízes f(omega^m) = a0 + a1omega^m + a2(omega^m)^2 + dots + an(omega^m)^n -ésimas da unidade. Escrevendo como:
ao calcular para , temos:

Passo 6

Vamos somar todas essas avaliações:
f(1) + f(omega) + f(omega^2) + dots + f(omega^p-1) = summ=0^p-1 ( a0 + a1omega^m + a2omega^2m + dots + anomega^nm )
Isso pode ser reescrito separando os coeficientes:
= p a0 + a1 summ=0^p-1 omega^m + a2 summ=0^p-1 omega^2m + dots + an summ=0^p-1 omega^nm

Passo 7

Sabemos que p & se p divide k 0 & caso contrário é igual a:
á
Isso ocorre porque, se divide , então , e a soma é . Se não divide , a soma das raízes da unidade é zero.

Passo 8

Aplicando isso à nossa soma, temos:
f(1) + f(omega) + dots + f(omega^p-1) = p a0 + 0 + 0 + dots + 0 = p sump mid k ak
Ou seja:
p sump mid k [X^k] = f(1) + f(omega) + dots + f(omega^p-1)

Passo 9

Finalmente, isolando a soma dos coeficientes que queremos:
sump mid k [X^k] = 1p ( f(1) + f(omega) + dots + f(omega^p-1) )

Resposta

Portanto, mostramos que:
sump mid k [X^k] = 1p ( f(1) + f(omega) + cdots + f(omega^p-1) )

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