Resvolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja,
, para isso, determine o valor da contante
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições de contorno. O objetivo é encontrar o valor da constante
que faz com que a solução da equação não seja trivial, ou seja, que
. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial que nos foi dada:
Essa é uma equação diferencial de Euler ou equação Cauchy-Euler, que é um tipo especial de equação diferencial onde as soluções podem ser assumidas na forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos substituir
na equação para encontrar os valores possíveis de
. Primeiramente, calculamos as derivadas de
:
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Passo 4
Simplificando os termos:
Fatorando
:
Como
nunca é zero para
, podemos ignorar esse fator e igualar o que está dentro dos colchetes a zero:
Passo 5
Simplificando a equação acima:
Isso nos dá a equação característica:
Passo 6
Resolvendo para
:
Para termos soluções reais e não triviais, precisamos que
seja negativo, de modo que
seja real. Vamos definir
, onde
é uma constante real positiva.
Passo 7
Com isso, as soluções gerais da equação são:
Usando a identidade de Euler, sabemos que
pode ser escrito como
. Então, podemos reescrever a solução como:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar os valores de
,
e
.
Primeira condição:
Substituindo
:
Então,
.
Passo 9
Com
, a solução fica:
Agora, aplicamos a segunda condição:
Substituindo
:
Para que haja uma solução não trivial (
), devemos ter:
Passo 10
A equação
é satisfeita quando
, onde
é um número inteiro. Logo:
Isso implica que:
Resposta
O valor da constante
que garante uma solução não trivial para a equação diferencial dada é:
onde
é um número inteiro positivo (
).
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Encontre todos os polinômios não constantes
tais que
, onde
é um inteiro positivo dado.
Sejam
, denotamos por
a enésima derivada da função
. Prove a fórmula de Leibniz:
Sejam
, sendo
. Para
, prove que o resto da divisão de
por
é igual a
.
Para
, denote por
o coeficiente de
em
. Mostre que se
é um primo e
é uma raíz p-ésima da unidade, então