Resvolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja, , para isso, determine o valor da contante .


Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições de contorno. O objetivo é encontrar o valor da constante que faz com que a solução da equação não seja trivial, ou seja, que . Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial que nos foi dada:
Essa é uma equação diferencial de Euler ou equação Cauchy-Euler, que é um tipo especial de equação diferencial onde as soluções podem ser assumidas na forma , onde é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos substituir na equação para encontrar os valores possíveis de . Primeiramente, calculamos as derivadas de :
Agora, substituímos , e na equação original:

Passo 4

Simplificando os termos:
Fatorando :
Como nunca é zero para , podemos ignorar esse fator e igualar o que está dentro dos colchetes a zero:

Passo 5

Simplificando a equação acima:
Isso nos dá a equação característica:

Passo 6

Resolvendo para :
Para termos soluções reais e não triviais, precisamos que seja negativo, de modo que seja real. Vamos definir , onde é uma constante real positiva.

Passo 7

Com isso, as soluções gerais da equação são:
Usando a identidade de Euler, sabemos que pode ser escrito como . Então, podemos reescrever a solução como:

Passo 8

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar os valores de , e .
Primeira condição:
Substituindo :
Então, .

Passo 9

Com , a solução fica:
Agora, aplicamos a segunda condição:
Substituindo :
Para que haja uma solução não trivial ( ), devemos ter:

Passo 10

A equação é satisfeita quando , onde é um número inteiro. Logo:
Isso implica que:

Resposta

O valor da constante que garante uma solução não trivial para a equação diferencial dada é:
onde é um número inteiro positivo ( ).

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