Sejam
, sendo
. Para
, prove que o resto da divisão de
por
é igual a
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois números,
e
, pertencentes a um corpo
, onde
. Também temos um polinômio
não nulo em
. A tarefa é provar que, ao dividirmos
por
, o resto dessa divisão é igual a
.
Aqui, vamos usar o Teorema do Resto, que nos ajuda a encontrar o resto da divisão de um polinômio por um binômio da forma
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o divisor
de uma forma que se assemelhe mais a
, que é o formato padrão para aplicar o Teorema do Resto.
Podemos fatorar
do termo
:
Isso nos dá:
Agora, o divisor está na forma
, onde
.
Passo 3
O Teorema do Resto nos diz que, ao dividir um polinômio
por
, o resto da divisão é
. Mas no nosso caso, o divisor é
.
Como
é uma constante diferente de zero, a escala por
não altera o processo de divisão em termos de encontrar o resto. Portanto, o resto da divisão de
por
é o mesmo que o resto da divisão por
.
Então, aplicando o teorema:
Substituindo
, temos:
Resposta
Portanto, o resto da divisão de
por
é igual a
.
Exercícios relacionados
Resvolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja,
, para isso, determine o valor da contante
.
Encontre todos os polinômios não constantes
tais que
, onde
é um inteiro positivo dado.
Para
, denote por
o coeficiente de
em
. Mostre que se
é um primo e
é uma raíz p-ésima da unidade, então
Seja
um polinômio não nulo e de coeficientes complexos e
um complexo dado. Mostre que
é uma raíz de multiplicidade
de
se, e somente se,
é uma raiz de multiplicidade
de
.