Sejam , sendo . Para , prove que o resto da divisão de por é igual a .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois números, e , pertencentes a um corpo , onde . Também temos um polinômio não nulo em . A tarefa é provar que, ao dividirmos por , o resto dessa divisão é igual a .
Aqui, vamos usar o Teorema do Resto, que nos ajuda a encontrar o resto da divisão de um polinômio por um binômio da forma .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o divisor de uma forma que se assemelhe mais a , que é o formato padrão para aplicar o Teorema do Resto.
Podemos fatorar do termo :
Isso nos dá:
Agora, o divisor está na forma , onde .

Passo 3

O Teorema do Resto nos diz que, ao dividir um polinômio por , o resto da divisão é . Mas no nosso caso, o divisor é .
Como é uma constante diferente de zero, a escala por não altera o processo de divisão em termos de encontrar o resto. Portanto, o resto da divisão de por é o mesmo que o resto da divisão por .
Então, aplicando o teorema:
Substituindo , temos:

Resposta

Portanto, o resto da divisão de por é igual a .

Exercícios relacionados

Resvolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja, , para isso, determine o valor da contante .


Encontre todos os polinômios não constantes tais que , onde é um inteiro positivo dado.
Para , denote por o coeficiente de em . Mostre que se é um primo e é uma raíz p-ésima da unidade, então
Seja um polinômio não nulo e de coeficientes complexos e um complexo dado. Mostre que é uma raíz de multiplicidade de se, e somente se, é uma raiz de multiplicidade de .