Sejam a, b em K, sendo a != 0. Para f in K[X] \ {0}, prove que o resto da divisão de f por a x + b é igual a f(-b/a).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois números, e , pertencentes a um corpo , onde . Também temos um polinômio não nulo em . A tarefa é provar que, ao dividirmos por , o resto dessa divisão é igual a .
Aqui, vamos usar o Teorema do Resto, que nos ajuda a encontrar o resto da divisão de um polinômio por um binômio da forma .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o divisor de uma forma que se assemelhe mais a , que é o formato padrão para aplicar o Teorema do Resto.
Podemos fatorar do termo :
Isso nos dá:
Agora, o divisor está na forma , onde .

Passo 3

O Teorema do Resto nos diz que, ao dividir um polinômio por , o resto da divisão é . Mas no nosso caso, o divisor é .
Como é uma constante diferente de zero, a escala por não altera o processo de divisão em termos de encontrar o resto. Portanto, o resto da divisão de por é o mesmo que o resto da divisão por .
Então, aplicando o teorema:
Substituindo , temos:

Resposta

Portanto, o resto da divisão de por é igual a .

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