Seja um polinômio não nulo e de coeficientes complexos e um complexo dado. Mostre que é uma raíz de multiplicidade de se, e somente se, é uma raiz de multiplicidade de .

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre polinômios com coeficientes complexos e trata das raízes desse polinômio. A gente precisa mostrar uma relação entre a multiplicidade de uma raiz de um polinômio e a multiplicidade dessa mesma raiz no polinômio derivado . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é multiplicidade de uma raiz e como a derivada de um polinômio afeta essas multiplicidades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que é uma raiz de multiplicidade de . Isso quer dizer que e que pode ser fatorado como , onde . Ou seja, o fator aparece vezes na fatoração de .

Passo 3

Agora, vamos derivar o polinômio . Usando a regra do produto para derivadas, temos:

Passo 4

Observamos que também tem o fator . Vamos reescrever :
Note que , então quando :
Isso significa que é realmente o fator que aparece na derivada , e o restante da expressão não anula em .

Passo 5

Portanto, a multiplicidade de como raiz de é , já que o fator aparece vezes na derivada, e o restante da expressão não contribui para mais fatores de .

Resposta

Concluímos que é uma raiz de multiplicidade de se e somente se é uma raiz de multiplicidade de .

Exercícios relacionados

Para , denote por o coeficiente de em . Mostre que se é um primo e é uma raíz p-ésima da unidade, então
Sejam , sendo . Para , prove que o resto da divisão de por é igual a .
Mostre que, para quaisquer com e ,
Prove que o número é irracional.