Seja
um polinômio não nulo e de coeficientes complexos e
um complexo dado. Mostre que
é uma raíz de multiplicidade
de
se, e somente se,
é uma raiz de multiplicidade
de
.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício fala sobre polinômios com coeficientes complexos e trata das raízes desse polinômio. A gente precisa mostrar uma relação entre a multiplicidade de uma raiz
de um polinômio
e a multiplicidade dessa mesma raiz no polinômio derivado
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é multiplicidade de uma raiz e como a derivada de um polinômio afeta essas multiplicidades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que
é uma raiz de multiplicidade
de
. Isso quer dizer que
e que
pode ser fatorado como
, onde
. Ou seja, o fator
aparece
vezes na fatoração de
.
Passo 3
Agora, vamos derivar o polinômio
. Usando a regra do produto para derivadas, temos:
Passo 4
Observamos que
também tem o fator
. Vamos reescrever
:
Note que
, então quando
:
Isso significa que
é realmente o fator que aparece na derivada
, e o restante da expressão não anula em
.
Passo 5
Portanto, a multiplicidade de
como raiz de
é
, já que o fator
aparece
vezes na derivada, e o restante da expressão não contribui para mais fatores de
.
Resposta
Concluímos que
é uma raiz de multiplicidade
de
se e somente se
é uma raiz de multiplicidade
de
.
Exercícios relacionados
Para
, denote por
o coeficiente de
em
. Mostre que se
é um primo e
é uma raíz p-ésima da unidade, então
Sejam
, sendo
. Para
, prove que o resto da divisão de
por
é igual a
.
Mostre que, para quaisquer
com
e
,
Prove que o número
é irracional.