Mostre que, para quaisquer
com
e
,
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de combinatória. A questão pede para mostrar que, para quaisquer números
com
e
:
Vamos precisar usar o conceito de coeficientes binomiais e a ideia de combinação de elementos de dois conjuntos diferentes. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Esse coeficiente binomial representa o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto que tem
elementos no total.
Passo 3
Agora, vamos dividir esse conjunto de
elementos em dois subconjuntos: um com
elementos e outro com
elementos. Queremos escolher
elementos no total, então podemos escolher alguns do primeiro subconjunto e o restante do segundo.
Passo 4
Vamos chamar
de número de elementos que escolhemos do primeiro subconjunto (com
elementos). Então, escolheremos
elementos do segundo subconjunto (com
elementos).
Passo 5
O número de maneiras de escolher
elementos do primeiro conjunto é
, e o número de maneiras de escolher
elementos do segundo conjunto é
.
Passo 6
Como as escolhas são independentes, multiplicamos essas duas quantidades para obter o número de maneiras de escolher
elementos do primeiro conjunto e
do segundo:
Passo 7
Como
pode variar de
até
, precisamos somar todas essas possibilidades para obter o total de maneiras de escolher
elementos dos
:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Seja
um polinômio não nulo e de coeficientes complexos e
um complexo dado. Mostre que
é uma raíz de multiplicidade
de
se, e somente se,
é uma raiz de multiplicidade
de
.
Para
, denote por
o coeficiente de
em
. Mostre que se
é um primo e
é uma raíz p-ésima da unidade, então
Prove que o número
é irracional.
Existe um polinômio
de coeficientes reais tal que
? Justifique sua resposta.