Mostre que, para quaisquer com e ,

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de combinatória. A questão pede para mostrar que, para quaisquer números com e :
Vamos precisar usar o conceito de coeficientes binomiais e a ideia de combinação de elementos de dois conjuntos diferentes. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Esse coeficiente binomial representa o número de maneiras de escolher elementos de um conjunto que tem elementos no total.

Passo 3

Agora, vamos dividir esse conjunto de elementos em dois subconjuntos: um com elementos e outro com elementos. Queremos escolher elementos no total, então podemos escolher alguns do primeiro subconjunto e o restante do segundo.

Passo 4

Vamos chamar de número de elementos que escolhemos do primeiro subconjunto (com elementos). Então, escolheremos elementos do segundo subconjunto (com elementos).

Passo 5

O número de maneiras de escolher elementos do primeiro conjunto é , e o número de maneiras de escolher elementos do segundo conjunto é .

Passo 6

Como as escolhas são independentes, multiplicamos essas duas quantidades para obter o número de maneiras de escolher elementos do primeiro conjunto e do segundo:

Passo 7

Como pode variar de até , precisamos somar todas essas possibilidades para obter o total de maneiras de escolher elementos dos :

Resposta

Portanto, mostramos que:

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Seja um polinômio não nulo e de coeficientes complexos e um complexo dado. Mostre que é uma raíz de multiplicidade de se, e somente se, é uma raiz de multiplicidade de .
Para , denote por o coeficiente de em . Mostre que se é um primo e é uma raíz p-ésima da unidade, então
Prove que o número é irracional.
Existe um polinômio de coeficientes reais tal que ? Justifique sua resposta.