Uma bactéria em forma de esfera de raio , alimenta-se através de sua superfície. A alimentação tem a tendência a fazer com que seu volume aumente a uma taxa, a cada momento, proporcional à área da superfície. Além disto, o metabolismo da bactéria faz com que seu volume tenda a diminuir a uma taxa, em cada momento, proporcional ao volume. Expressando a superfície e o volume em função do raio, justifique que este satisfaz a uma equação diferencial da forma
Existe um valor limite para o raio? Este limite é atingido em um tempo finito?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bactéria esférica com raio que se alimenta pela sua superfície. A alimentação faz o volume da bactéria aumentar a uma taxa proporcional à área da superfície. Além disso, o metabolismo da bactéria faz com que o volume diminua a uma taxa proporcional ao próprio volume. Queremos mostrar que o raio satisfaz a equação diferencial , onde e são constantes positivas. Também vamos analisar se existe um valor limite para o raio e se esse limite é alcançado em um tempo finito. Vamos precisar usar conceitos de geometria (área e volume de uma esfera) e de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as fórmulas da geometria para uma esfera:
  • Área da superfície:
  • Volume:

Passo 3

A alimentação da bactéria aumenta o volume a uma taxa proporcional à área da superfície. Podemos expressar isso como:
onde é uma constante de proporcionalidade positiva.

Passo 4

O metabolismo da bactéria diminui o volume a uma taxa proporcional ao volume atual. Isso pode ser escrito como:
onde é outra constante de proporcionalidade positiva.

Passo 5

Substituímos as expressões de e nas equações:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos relacionar com . Sabemos que:
Derivando ambos os lados em relação ao tempo :

Passo 7

Igualando as duas expressões para :
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
Aqui, podemos identificar e , ambas positivas.

Passo 8

Assim, chegamos à equação diferencial desejada:
com e .

Passo 9

Agora, vamos verificar se existe um valor limite para o raio. Para isso, analisamos o comportamento da equação diferencial à medida que tende ao infinito. A solução da equação diferencial é uma função que tende a um valor constante quando o sistema alcança o equilíbrio.

Passo 10

Encontramos o valor limite quando :
Então, sim, existe um valor limite para o raio, que é .

Passo 11

Quanto ao tempo necessário para alcançar esse limite, resolvemos a equação diferencial. A solução geral é:
onde é o raio inicial.

Passo 12

Observamos que conforme tende ao infinito, o termo exponencial tende a zero, e se aproxima de . No entanto, nunca alcançamos exatamente esse valor em um tempo finito, apenas nos aproximamos infinitamente.

Resposta

Sim, o raio da bactéria tende ao valor limite à medida que o tempo aumenta. Contudo, esse limite não é atingido em um tempo finito, apenas o raio se aproxima cada vez mais desse valor conforme o tempo tende ao infinito.

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