A concentração de
no ar de uma sala com capacidade de
é de
. Começa a ser bombeado para dentro da sala ar contendo
de
à razão de
por minuto. Após bem misturado, a mesma quantidade de ar deixa a sala.
Encontre a porcentagem de
na sala depois de 10 min .
Encontre a porcentagem de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos uma sala com 5000 metros cúbicos de ar, inicialmente com 0,3% de dióxido de carbono (
). A gente está colocando ar novo na sala, que tem só 0,1% de
, à taxa de 100 metros cúbicos por minuto. Depois que o ar novo entra, ele bem misturado sai da sala na mesma taxa de 100 metros cúbicos por minuto. Queremos saber qual será a concentração de
na sala após 10 minutos. Vamos usar conceitos de mistura e taxas de variação para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a variável que vamos acompanhar: seja
a concentração de
na sala no tempo
(em minutos). Inicialmente,
.
Passo 3
O ar que entra tem uma concentração de
de
e entra à taxa de 100 m³/min. Portanto, a quantidade de
que entra por minuto é:
Passo 4
O ar que sai da sala também é de 100 m³/min, mas com a concentração atual
de
. Então, a quantidade de
que sai por minuto é:
Passo 5
A variação na quantidade de
na sala por minuto é a diferença entre a entrada e a saída:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial linear. Para resolvê-la, vamos rearranjar:
A gente pode usar o fator integrante para resolver essa equação.
Passo 7
Calculamos o fator integrante, que é:
Multiplicamos toda a equação por
:
Passo 8
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 10
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Então, a solução geral é:
Passo 11
Agora, queremos a concentração após 10 minutos:
O termo
é praticamente zero, então:
Resposta
Após 10 minutos, a concentração de
na sala será aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Seja
a temperatura no instante
de um corpo imerso em um meio de temperatura constante
. A lei do resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de
é diretamente proporcional à diferença
, isto é,
. Considere um corpo aquecido a
é posto em um ambiente a
e sabe-se que em 5 min sua temperatura é de
.
Em quanto tempo será atingida a temperatura de ?
Em quanto tempo será atingida a temperatura de
Resolva as equações diferenciais abaixo:
Considere as seguintes funções
e
para resolver o seguinte sistema:
Solução:
e
Uma bactéria em forma de esfera de raio
, alimenta-se através de sua superfície. A alimentação tem a tendência a fazer com que seu volume aumente a uma taxa, a cada momento, proporcional à área da superfície. Além disto, o metabolismo da bactéria faz com que seu volume tenda a diminuir a uma taxa, em cada momento, proporcional ao volume. Expressando a superfície e o volume em função do raio, justifique que este satisfaz a uma equação diferencial da forma
Existe um valor limite para o raio? Este limite é atingido em um tempo finito?