A concentração de
no ar de uma sala com capacidade de
é de
. Começa a ser bombeado para dentro da sala ar contendo
de
à razão de
por minuto. Após bem misturado, a mesma quantidade de ar deixa a sala.
Encontre a porcentagem de
na sala depois de 10 min .
Encontre a porcentagem de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos uma sala com 5000 metros cúbicos de ar, inicialmente com 0,3% de dióxido de carbono (
). A gente está colocando ar novo na sala, que tem só 0,1% de
, à taxa de 100 metros cúbicos por minuto. Depois que o ar novo entra, ele bem misturado sai da sala na mesma taxa de 100 metros cúbicos por minuto. Queremos saber qual será a concentração de
na sala após 10 minutos. Vamos usar conceitos de mistura e taxas de variação para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a variável que vamos acompanhar: seja
a concentração de
na sala no tempo
(em minutos). Inicialmente,
.
Passo 3
O ar que entra tem uma concentração de
de
e entra à taxa de 100 m³/min. Portanto, a quantidade de
que entra por minuto é:
Passo 4
O ar que sai da sala também é de 100 m³/min, mas com a concentração atual
de
. Então, a quantidade de
que sai por minuto é:
Passo 5
A variação na quantidade de
na sala por minuto é a diferença entre a entrada e a saída:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial linear. Para resolvê-la, vamos rearranjar:
A gente pode usar o fator integrante para resolver essa equação.
Passo 7
Calculamos o fator integrante, que é:
Multiplicamos toda a equação por
:
Passo 8
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 10
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Então, a solução geral é:
Passo 11
Agora, queremos a concentração após 10 minutos:
O termo
é praticamente zero, então:
Resposta
Após 10 minutos, a concentração de
na sala será aproximadamente
.