A concentração de CO2 no ar de uma sala com capacidade de 5000 m^3 é de 0,3%. Começa a ser bombeado para dentro da sala ar contendo 0,1 % de CO2 à razão de 100 m^3 por minuto. Após bem misturado, a mesma quantidade de ar deixa a sala.
Encontre a porcentagem de CO2 na sala depois de 10 min .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos uma sala com 5000 metros cúbicos de ar, inicialmente com 0,3% de dióxido de carbono ( CO2). A gente está colocando ar novo na sala, que tem só 0,1% de CO2, à taxa de 100 metros cúbicos por minuto. Depois que o ar novo entra, ele bem misturado sai da sala na mesma taxa de 100 metros cúbicos por minuto. Queremos saber qual será a concentração de CO2 na sala após 10 minutos. Vamos usar conceitos de mistura e taxas de variação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a variável que vamos acompanhar: seja C(t) a concentração de CO2 na sala no tempo t (em minutos). Inicialmente, .

Passo 3

O ar que entra tem uma concentração de de CO2 e entra à taxa de 100 m³/min. Portanto, a quantidade de CO2 que entra por minuto é:

Passo 4

O ar que sai da sala também é de 100 m³/min, mas com a concentração atual C(t) de CO2. Então, a quantidade de CO2 que sai por minuto é:
í

Passo 5

A variação na quantidade de CO2 na sala por minuto é a diferença entre a entrada e a saída:
í

Passo 6

Essa é uma equação diferencial linear. Para resolvê-la, vamos rearranjar:
A gente pode usar o fator integrante para resolver essa equação.

Passo 7

Calculamos o fator integrante, que é:
Multiplicamos toda a equação por :

Passo 8

A esquerda da equação agora é a derivada do produto :
Integrando ambos os lados:
Onde K é a constante de integração.

Passo 9

Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 10

Usamos a condição inicial para encontrar K:
Então, a solução geral é:

Passo 11

Agora, queremos a concentração após 10 minutos:
O termo é praticamente zero, então:

Resposta

Após 10 minutos, a concentração de CO2 na sala será aproximadamente .

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