Considere as seguintes funções
e
para resolver o seguinte sistema:
Solução:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema envolvendo as funções
e
. A gente vai usar um método chamado multiplicadores de Lagrange, que ajuda a otimizar uma função sujeita a uma restrição. Então, vamos precisar calcular os gradientes dessas funções e montar o sistema de equações para encontrar os valores de
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os gradientes das funções
e
. O gradiente de uma função de duas variáveis é um vetor que contém as derivadas parciais em relação a cada variável.
Para
:
Para
:
Passo 3
O sistema que precisamos resolver é dado por:
Substituindo os gradientes que encontramos:
Isso resulta em duas equações:
Passo 4
Vamos resolver o sistema das equações (1) e (2). Podemos dividir a primeira equação pela segunda para eliminar
:
Isso nos diz que
ou
.
Passo 5
Agora, vamos considerar cada caso:
-
Caso
: Substituindo na equação (3):Então,, o que dá os pontos e . -
Caso
: Substituindo na equação (3):Isso não tem solução real, já que o quadrado de um número real nunca é negativo.
Passo 6
Portanto, a única solução real é
.
Agora, vamos encontrar o valor de
usando a equação (1):