Considere as seguintes funções e para resolver o seguinte sistema:
Solução: e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema envolvendo as funções e . A gente vai usar um método chamado multiplicadores de Lagrange, que ajuda a otimizar uma função sujeita a uma restrição. Então, vamos precisar calcular os gradientes dessas funções e montar o sistema de equações para encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os gradientes das funções e . O gradiente de uma função de duas variáveis é um vetor que contém as derivadas parciais em relação a cada variável.
Para :
Para :

Passo 3

O sistema que precisamos resolver é dado por:
Substituindo os gradientes que encontramos:
Isso resulta em duas equações:

Passo 4

Vamos resolver o sistema das equações (1) e (2). Podemos dividir a primeira equação pela segunda para eliminar :
Isso nos diz que ou .

Passo 5

Agora, vamos considerar cada caso:
  1. Caso :
    Substituindo na equação (3):
    Então, , o que dá os pontos e .
  2. Caso :
    Substituindo na equação (3):
    Isso não tem solução real, já que o quadrado de um número real nunca é negativo.

Passo 6

Portanto, a única solução real é .
Agora, vamos encontrar o valor de usando a equação (1):

Resposta

e

Exercícios relacionados

A concentração de no ar de uma sala com capacidade de é de . Começa a ser bombeado para dentro da sala ar contendo de à razão de por minuto. Após bem misturado, a mesma quantidade de ar deixa a sala.
Encontre a porcentagem de na sala depois de 10 min .
Seja a temperatura no instante de um corpo imerso em um meio de temperatura constante . A lei do resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de é diretamente proporcional à diferença , isto é, . Considere um corpo aquecido a é posto em um ambiente a e sabe-se que em 5 min sua temperatura é de .
Em quanto tempo será atingida a temperatura de ?
Uma bactéria em forma de esfera de raio , alimenta-se através de sua superfície. A alimentação tem a tendência a fazer com que seu volume aumente a uma taxa, a cada momento, proporcional à área da superfície. Além disto, o metabolismo da bactéria faz com que seu volume tenda a diminuir a uma taxa, em cada momento, proporcional ao volume. Expressando a superfície e o volume em função do raio, justifique que este satisfaz a uma equação diferencial da forma
Existe um valor limite para o raio? Este limite é atingido em um tempo finito?
Considere as seguintes funções e para resolver seguinte sistema: