Considere as seguintes funções f(x, y) = x^2 + y^2 e g(x, y) = x*y - 1 para resolver o seguinte sistema:
nabla f(x, y) = lambda nabla g(x, y) g(x, y) = 0
Solução: lambda = 2 e (x, y) = (1, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema envolvendo as funções e . A gente vai usar um método chamado multiplicadores de Lagrange, que ajuda a otimizar uma função sujeita a uma restrição. Então, vamos precisar calcular os gradientes dessas funções e montar o sistema de equações para encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os gradientes das funções e . O gradiente de uma função de duas variáveis é um vetor que contém as derivadas parciais em relação a cada variável.
Para :
Para :

Passo 3

O sistema que precisamos resolver é dado por:
Substituindo os gradientes que encontramos:
Isso resulta em duas equações:

Passo 4

Vamos resolver o sistema das equações (1) e (2). Podemos dividir a primeira equação pela segunda para eliminar :
Isso nos diz que ou .

Passo 5

Agora, vamos considerar cada caso:
  1. Caso :
    Substituindo na equação (3):
    Então, , o que dá os pontos e .
  2. Caso :
    Substituindo na equação (3):
    Isso não tem solução real, já que o quadrado de um número real nunca é negativo.

Passo 6

Portanto, a única solução real é .
Agora, vamos encontrar o valor de usando a equação (1):

Resposta

e

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