Considere as seguintes funções e para resolver seguinte sistema:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três funções dadas:
Precisamos resolver um sistema que envolve os gradientes dessas funções, utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método é usado para encontrar os pontos de máximo ou mínimo de uma função sujeita a restrições (no caso, e ). Para isso, vamos precisar calcular os gradientes das funções e montar um sistema de equações.
Passo 2
Vamos calcular os gradientes das funções:
O sistema que precisamos resolver é:
Isso nos dá as seguintes equações:
Passo 3
Vamos começar resolvendo a terceira equação: . Isso nos dá:
Agora, substituímos nas duas primeiras equações:
Podemos reescrever essas equações como:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por (supondo que ):
Isso mostra que .
Passo 4
Agora, usamos a quinta equação . Como , podemos escrever: