Considere as seguintes funções e para resolver seguinte sistema:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três funções dadas:
Precisamos resolver um sistema que envolve os gradientes dessas funções, utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método é usado para encontrar os pontos de máximo ou mínimo de uma função sujeita a restrições (no caso, e ). Para isso, vamos precisar calcular os gradientes das funções e montar um sistema de equações.
Passo 2
Vamos calcular os gradientes das funções:
nabla f = lambda nabla g + mu nabla h g(x, y, z) = 0 h(x, y, z) = 0
2x = 2lambda x + mu 2y = 2lambda y + mu 2z = mu x^2 + y^2 - 1 = 0 x + y + z = 0
O sistema que precisamos resolver é:
Isso nos dá as seguintes equações:
Passo 3
Vamos começar resolvendo a terceira equação: mu = 2z . Isso nos dá:
2x = 2lambda x + 2z 2y = 2lambda y + 2z
Agora, substituímos 2x - 2lambda x = 2z 2y - 2lambda y = 2z nas duas primeiras equações:
x(2 - 2lambda) = 2z y(2 - 2lambda) = 2z
Podemos reescrever essas equações como:
x = 2z2 - 2lambda = z1 - lambda y = 2z2 - 2lambda = z1 - lambda
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por (supondo que ):
Isso mostra que .
Passo 4
Agora, usamos a quinta equação 2x + z = 0 Rightarrow z = -2x . Como x = -2x1 - lambda , podemos escrever:
x(1 - lambda) = -2x
Substituindo x - lambda x = -2x na expressão de x + 2x = lambda x Rightarrow 3x = lambda x que encontramos:
lambda = 3
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo :
Movendo todos os termos com para um lado:
Se , podemos dividir ambos os lados por :
Passo 5
Com x = z1 - 3 = z-2 = -z2 , podemos encontrar y = -z2 e x^2 + y^2 = 1 Rightarrow x^2 + x^2 = 1 Rightarrow 2x^2 = 1 Rightarrow x^2 = 12 Rightarrow x = pm raiz22 . Usando :