Considere as seguintes funções e para resolver seguinte sistema:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três funções dadas:
Precisamos resolver um sistema que envolve os gradientes dessas funções, utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método é usado para encontrar os pontos de máximo ou mínimo de uma função sujeita a restrições (no caso, e ). Para isso, vamos precisar calcular os gradientes das funções e montar um sistema de equações.

Passo 2

Vamos calcular os gradientes das funções:
O sistema que precisamos resolver é:
Isso nos dá as seguintes equações:

Passo 3

Vamos começar resolvendo a terceira equação: . Isso nos dá:
Agora, substituímos nas duas primeiras equações:
Podemos reescrever essas equações como:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por (supondo que ):
Isso mostra que .

Passo 4

Agora, usamos a quinta equação . Como , podemos escrever:
Substituindo na expressão de que encontramos:
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo :
Movendo todos os termos com para um lado:
Se , podemos dividir ambos os lados por :

Passo 5

Com , podemos encontrar e . Usando :
E como :
Lembrando que , substituímos na equação de :

Passo 6

Encontramos dois casos:
  1. Caso 1:
    Então:
    E:
  2. Caso 2:
    Então:
    E:

Resposta

As soluções do sistema são:
  1. com
  2. com

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