Uma bailarina roda sem atrito em torno do seu próprio corpo com momento de inércia de
. Após afastar seus braços e uma de suas pernas, sua energia cinética diminui de
enquanto que seu momento de inércia se altera para
. Qual a magnitude da velocidade angular inicial da bailarina?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma bailarina que está girando sem atrito ao redor do próprio corpo. A gente tem que descobrir qual é a velocidade angular inicial dela. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre momento de inércia e energia cinética rotacional. Esses conceitos estão na física, mais especificamente na parte de movimentos de rotação.
Passo 2
Primeiramente, vamos relembrar o que é momento de inércia. Ele mede como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais espalhada a massa, maior o momento de inércia. A fórmula básica é:
onde
é o momento de inércia,
é a massa de cada partícula e
é a distância de cada partícula ao eixo de rotação.
Passo 3
Agora, sobre energia cinética rotacional. Quando um objeto gira, ele tem energia devido ao seu movimento de rotação. A fórmula para calcular essa energia é:
Aqui,
é a energia cinética rotacional,
é o momento de inércia, e
é a velocidade angular.
Passo 4
No problema, sabemos que a bailarina inicialmente tem um momento de inércia de
e uma energia cinética inicial de
. Depois, ela afasta os braços e uma perna, aumentando o momento de inércia para
e sua energia cinética diminui em 6 J.
Passo 5
Como não há atrito, o momento angular da bailarina é conservado. Isso significa que o momento angular inicial é igual ao momento angular final:
E o momento angular (
) é dado por:
Então, temos:
Passo 6
Queremos encontrar a velocidade angular inicial
. Mas também precisamos relacionar as energias cinéticas antes e depois da mudança. A energia cinética inicial é
.
Depois da mudança, a energia cinética final é
. Então,
No entanto, isso não faz sentido físico, já que a bailarina ainda está girando. Parece que houve uma confusão. Vamos reconsiderar a interpretação.
Passo 7
Na verdade, o enunciado diz que a energia cinética diminui em 6 J. Então, se a energia inicial é
, a energia final é:
Isso sugere que a bailarina parou de girar, o que não é o caso devido à conservação do momento angular. Portanto, devemos interpretar que a energia final
é 6 J a menos que a inicial. Vamos ajustar:
Se
e
, e sabemos que
, então:
Passo 8
Sabemos também que o momento angular é conservado:
Substituindo
na equação da energia:
Simplificando:
Fatorando
:
Passo 9
Vamos inserir os valores dados:
Calculando a expressão dentro dos parênteses:
Então,
Multiplicando ambos os lados por 6:
Resposta
A velocidade angular inicial da bailarina é de 6 rad/s.