Uma bailarina roda sem atrito em torno do seu próprio corpo com momento de inércia de 1 kg cdot m^2. Após afastar seus braços e uma de suas pernas, sua energia cinética diminui de 6 J enquanto que seu momento de inércia se altera para 1,5 kg cdot m^2. Qual a magnitude da velocidade angular inicial da bailarina?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma bailarina que está girando sem atrito ao redor do próprio corpo. A gente tem que descobrir qual é a velocidade angular inicial dela. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre momento de inércia e energia cinética rotacional. Esses conceitos estão na física, mais especificamente na parte de movimentos de rotação.

Passo 2

Primeiramente, vamos relembrar o que é momento de inércia. Ele mede como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais espalhada a massa, maior o momento de inércia. A fórmula básica é:
I = sum mi ri^2
onde é o momento de inércia, é a massa de cada partícula e é a distância de cada partícula ao eixo de rotação.

Passo 3

Agora, sobre energia cinética rotacional. Quando um objeto gira, ele tem energia devido ao seu movimento de rotação. A fórmula para calcular essa energia é:
K = 12 I omega^2
Aqui, é a energia cinética rotacional, é o momento de inércia, e é a velocidade angular.

Passo 4

No problema, sabemos que a bailarina inicialmente tem um momento de inércia de e uma energia cinética inicial de . Depois, ela afasta os braços e uma perna, aumentando o momento de inércia para e sua energia cinética diminui em 6 J.

Passo 5

Como não há atrito, o momento angular da bailarina é conservado. Isso significa que o momento angular inicial é igual ao momento angular final:
L1 = L2
E o momento angular ( L = I omega ) é dado por:
I1 omega1 = I2 omega2
Então, temos:

Passo 6

Queremos encontrar a velocidade angular inicial K2 = 12 I2 omega2^2 = 6 , J - 6 , J = 0 , J . Mas também precisamos relacionar as energias cinéticas antes e depois da mudança. A energia cinética inicial é .
Depois da mudança, a energia cinética final é . Então,
No entanto, isso não faz sentido físico, já que a bailarina ainda está girando. Parece que houve uma confusão. Vamos reconsiderar a interpretação.

Passo 7

Na verdade, o enunciado diz que a energia cinética diminui em 6 J. Então, se a energia inicial é K2 = K1 - 6 , J = 0 , J , a energia final é:
12 I1 omega1^2 - 12 I2 omega2^2 = 6 , J
Isso sugere que a bailarina parou de girar, o que não é o caso devido à conservação do momento angular. Portanto, devemos interpretar que a energia final é 6 J a menos que a inicial. Vamos ajustar:
Se e , e sabemos que , então:

Passo 8

Sabemos também que o momento angular é conservado:
I1 omega1 = I2 omega2 implies omega2 = I1I2 omega1
Substituindo 12 I1 omega1^2 - 12 I2 ( I1I2 omega1 )^2 = 6 na equação da energia:
12 I1 omega1^2 - 12 I1^2I2 omega1^2 = 6
Simplificando:
12 omega1^2 ( I1 - I1^2I2 ) = 6
Fatorando :

Passo 9

Vamos inserir os valores dados:
12 omega1^2 ( 1 - 1^21.5 ) = 6
Calculando a expressão dentro dos parênteses:
1 - 11.5 = 1 - 23 = 13
Então,
12 omega1^2 cdot 13 = 6 implies 16 omega1^2 = 6
Multiplicando ambos os lados por 6:
omega1^2 = 36 implies omega1 = raiz36 = 6 , rad/s

Resposta

A velocidade angular inicial da bailarina é de 6 rad/s.

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