Uma bailarina roda sem atrito em torno do seu próprio corpo com momento de inércia de . Após afastar seus braços e uma de suas pernas, sua energia cinética diminui de enquanto que seu momento de inércia se altera para . Qual a magnitude da velocidade angular inicial da bailarina?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma bailarina que está girando sem atrito ao redor do próprio corpo. A gente tem que descobrir qual é a velocidade angular inicial dela. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre momento de inércia e energia cinética rotacional. Esses conceitos estão na física, mais especificamente na parte de movimentos de rotação.

Passo 2

Primeiramente, vamos relembrar o que é momento de inércia. Ele mede como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais espalhada a massa, maior o momento de inércia. A fórmula básica é:
onde é o momento de inércia, é a massa de cada partícula e é a distância de cada partícula ao eixo de rotação.

Passo 3

Agora, sobre energia cinética rotacional. Quando um objeto gira, ele tem energia devido ao seu movimento de rotação. A fórmula para calcular essa energia é:
Aqui, é a energia cinética rotacional, é o momento de inércia, e é a velocidade angular.

Passo 4

No problema, sabemos que a bailarina inicialmente tem um momento de inércia de e uma energia cinética inicial de . Depois, ela afasta os braços e uma perna, aumentando o momento de inércia para e sua energia cinética diminui em 6 J.

Passo 5

Como não há atrito, o momento angular da bailarina é conservado. Isso significa que o momento angular inicial é igual ao momento angular final:
E o momento angular ( ) é dado por:
Então, temos:

Passo 6

Queremos encontrar a velocidade angular inicial . Mas também precisamos relacionar as energias cinéticas antes e depois da mudança. A energia cinética inicial é .
Depois da mudança, a energia cinética final é . Então,
No entanto, isso não faz sentido físico, já que a bailarina ainda está girando. Parece que houve uma confusão. Vamos reconsiderar a interpretação.

Passo 7

Na verdade, o enunciado diz que a energia cinética diminui em 6 J. Então, se a energia inicial é , a energia final é:
Isso sugere que a bailarina parou de girar, o que não é o caso devido à conservação do momento angular. Portanto, devemos interpretar que a energia final é 6 J a menos que a inicial. Vamos ajustar:
Se e , e sabemos que , então:

Passo 8

Sabemos também que o momento angular é conservado:
Substituindo na equação da energia:
Simplificando:
Fatorando :

Passo 9

Vamos inserir os valores dados:
Calculando a expressão dentro dos parênteses:
Então,
Multiplicando ambos os lados por 6:

Resposta

A velocidade angular inicial da bailarina é de 6 rad/s.

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