Uma bola maciça e homogênea de massa
e raio
rola sem deslizar sobre um plano inclinado, de inclinação
, devido ao atrito estático. Qual o vetor aceleração angular da bola?
Passo 1
Vamos lá! O enunciado diz que temos uma bola maciça e homogênea de massa
e raio
rolando sem deslizar sobre um plano inclinado com inclinação
, graças ao atrito estático. A matéria que vamos usar aqui é a de cinemática rotacional e dinâmica de rotação, que nos ajuda a entender como objetos giram e se movem. Para resolver, vamos precisar das fórmulas de movimento translacional e rotacional, além de considerar a condição de rolamento sem deslizar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando na bola. Há duas forças principais:
- Força da gravidade (
): age para baixo. - Força de atrito estático (
): impede que a bola deslize e faz com que ela role.
Como a bola está rolando sem deslizar, a aceleração translacional (
) está relacionada à aceleração angular (
) pela relação
.
Passo 3
Vamos decompor a força da gravidade em duas componentes:
- Paralela ao plano inclinado:
- Perpendicular ao plano inclinado:
A força de atrito estático atua na direção oposta ao movimento e é responsável por gerar o torque que causa a rotação da bola.
Passo 4
Aplicando a segunda lei de Newton para o movimento translacional:
E para o movimento rotacional:
Onde
é o momento de inércia da bola. Para uma bola maciça e homogênea,
.
Passo 5
Substituindo
e usando a relação
na equação rotacional:
Agora, substituímos
na equação translacional:
Resposta
A aceleração angular da bola é
.