Uma bola maciça e homogênea de massa m e raio R rola sem deslizar sobre um plano inclinado, de inclinação theta, devido ao atrito estático. Qual o vetor aceleração angular da bola?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado diz que temos uma bola maciça e homogênea de massa m e raio R rolando sem deslizar sobre um plano inclinado com inclinação theta, graças ao atrito estático. A matéria que vamos usar aqui é a de cinemática rotacional e dinâmica de rotação, que nos ajuda a entender como objetos giram e se movem. Para resolver, vamos precisar das fórmulas de movimento translacional e rotacional, além de considerar a condição de rolamento sem deslizar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando na bola. Há duas forças principais:
  1. Força da gravidade ( mg): age para baixo.
  2. Força de atrito estático ( f): impede que a bola deslize e faz com que ela role.
Como a bola está rolando sem deslizar, a aceleração translacional ( a) está relacionada à aceleração angular ( alpha) pela relação a = Ralpha.

Passo 3

Vamos decompor a força da gravidade em duas componentes:
  • Paralela ao plano inclinado: mg sintheta
  • Perpendicular ao plano inclinado: mg costheta
A força de atrito estático atua na direção oposta ao movimento e é responsável por gerar o torque que causa a rotação da bola.

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton para o movimento translacional:
mg sintheta - f = ma
E para o movimento rotacional:
f R = I alpha
Onde I é o momento de inércia da bola. Para uma bola maciça e homogênea, I = 25mR^2.

Passo 5

Substituindo I e usando a relação a = Ralpha na equação rotacional:
f R = 25mR^2 alpha f = 25mR alpha
Agora, substituímos f na equação translacional:
mg sintheta - 25mR alpha = ma mg sintheta - 25mR alpha = mR alpha mg sintheta = mR alpha + 25mR alpha mg sintheta = 75mR alpha alpha = 5g sintheta7R

Resposta

A aceleração angular da bola é alpha = 5g sintheta7R.

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