Uma bola maciça e homogênea de massa e raio rola sem deslizar sobre um plano inclinado, de inclinação , devido ao atrito estático. Qual o vetor aceleração angular da bola?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado diz que temos uma bola maciça e homogênea de massa e raio rolando sem deslizar sobre um plano inclinado com inclinação , graças ao atrito estático. A matéria que vamos usar aqui é a de cinemática rotacional e dinâmica de rotação, que nos ajuda a entender como objetos giram e se movem. Para resolver, vamos precisar das fórmulas de movimento translacional e rotacional, além de considerar a condição de rolamento sem deslizar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando na bola. Há duas forças principais:
  1. Força da gravidade ( ): age para baixo.
  2. Força de atrito estático ( ): impede que a bola deslize e faz com que ela role.
Como a bola está rolando sem deslizar, a aceleração translacional ( ) está relacionada à aceleração angular ( ) pela relação .

Passo 3

Vamos decompor a força da gravidade em duas componentes:
  • Paralela ao plano inclinado:
  • Perpendicular ao plano inclinado:
A força de atrito estático atua na direção oposta ao movimento e é responsável por gerar o torque que causa a rotação da bola.

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton para o movimento translacional:
E para o movimento rotacional:
Onde é o momento de inércia da bola. Para uma bola maciça e homogênea, .

Passo 5

Substituindo e usando a relação na equação rotacional:
Agora, substituímos na equação translacional:

Resposta

A aceleração angular da bola é .

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