Uma esfera de massa 2 kg e momento de inércia igual a
é lançada verticalmente, a partir do solo, com 200 J de energia mecânica. Durante toda a trajetória, a esfera roda em torno de um de seus eixos de simetria com velocidade angular de
. Calcule a altura máxima, a partir do solo, que ela atinge. Considere a aceleração da gravidade
e despreze a resistência com o ar.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera com massa de 2 kg e momento de inércia de
, que é lançada verticalmente do chão com uma energia mecânica total de 200 J. Enquanto sobe, a esfera está girando com uma velocidade angular de
. Queremos descobrir qual é a altura máxima que ela alcança. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia cinética (tanto translacional quanto rotacional) e energia potencial gravitacional, além de usar o princípio da conservação da energia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a energia mecânica está dividida no início do lançamento. A energia mecânica total é a soma da energia cinética translacional (devida ao movimento para cima) e da energia cinética rotacional (devida à rotação da esfera). Não há energia potencial no início porque a esfera parte do solo.
A fórmula para a energia cinética translacional é:
E para a energia cinética rotacional:
Onde:
-
é a massa da esfera, -
é a velocidade linear, -
é o momento de inércia, -
é a velocidade angular.
Passo 3
Vamos calcular a energia cinética rotacional primeiro, já que a velocidade angular
é constante durante toda a trajetória.
Então, dos 200 J totais, 100 J estão na forma de energia rotacional.
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia cinética translacional inicial. Como a energia mecânica total é 200 J e já usamos 100 J para a rotação, restam 100 J para o movimento para cima.
Então, a velocidade inicial da esfera é de 10 m/s.
Passo 5
Na altura máxima, toda a energia cinética translacional se transforma em energia potencial gravitacional, mas a energia cinética rotacional permanece a mesma porque a esfera continua girando.
A energia potencial gravitacional é dada por:
Onde:
-
é a aceleração da gravidade, -
é a altura máxima.
Sabemos que a energia total permanece constante e é igual a 200 J:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Resposta
A altura máxima que a esfera atinge é de 5 metros.