Uma esfera de massa 2 kg e momento de inércia igual a é lançada verticalmente, a partir do solo, com 200 J de energia mecânica. Durante toda a trajetória, a esfera roda em torno de um de seus eixos de simetria com velocidade angular de . Calcule a altura máxima, a partir do solo, que ela atinge. Considere a aceleração da gravidade e despreze a resistência com o ar.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera com massa de 2 kg e momento de inércia de , que é lançada verticalmente do chão com uma energia mecânica total de 200 J. Enquanto sobe, a esfera está girando com uma velocidade angular de . Queremos descobrir qual é a altura máxima que ela alcança. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia cinética (tanto translacional quanto rotacional) e energia potencial gravitacional, além de usar o princípio da conservação da energia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a energia mecânica está dividida no início do lançamento. A energia mecânica total é a soma da energia cinética translacional (devida ao movimento para cima) e da energia cinética rotacional (devida à rotação da esfera). Não há energia potencial no início porque a esfera parte do solo.
A fórmula para a energia cinética translacional é:
é
E para a energia cinética rotacional:
é
Onde:
  • é a massa da esfera,
  • é a velocidade linear,
  • é o momento de inércia,
  • é a velocidade angular.

Passo 3

Vamos calcular a energia cinética rotacional primeiro, já que a velocidade angular é constante durante toda a trajetória.
é
Então, dos 200 J totais, 100 J estão na forma de energia rotacional.

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia cinética translacional inicial. Como a energia mecânica total é 200 J e já usamos 100 J para a rotação, restam 100 J para o movimento para cima.
é
Então, a velocidade inicial da esfera é de 10 m/s.

Passo 5

Na altura máxima, toda a energia cinética translacional se transforma em energia potencial gravitacional, mas a energia cinética rotacional permanece a mesma porque a esfera continua girando.
A energia potencial gravitacional é dada por:
Onde:
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a altura máxima.
Sabemos que a energia total permanece constante e é igual a 200 J:
é

Passo 6

Agora, vamos resolver para :

Resposta

A altura máxima que a esfera atinge é de 5 metros.

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