Uma partícula é liberada, a partir do repouso, da posição (x=0, y=d, z=h), ficando apenas sob ação da gravidade. Calcule o momento angular da partícula, em relação a origem, em função da altura z da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que começa parada no ponto (x=0, y=d, z=h) e, depois, só a gravidade age sobre ela. Nossa missão aqui é descobrir qual é o momento angular dessa partícula em relação à origem enquanto ela desce, ou seja, em função da sua altura z.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática (para entender o movimento da partícula) e de mecânica clássica, mais especificamente o cálculo do momento angular. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na posição da partícula ao longo do tempo. Ela começa em (0, d, h) e está sujeita apenas à gravidade, que puxa ela para baixo na direção do eixo z. Como a partícula parte do repouso, sua velocidade inicial é zero.
A posição da partícula em qualquer instante pode ser descrita por suas coordenadas (x, y, z). Mas como só a gravidade está agindo, e ela só afeta a direção z, as coordenadas x e y permanecem constantes. Então, temos:
  • x = 0
  • y = d
  • z varia com o tempo conforme a partícula desce.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o momento angular. O momento angular L de uma partícula em relação a um ponto (neste caso, a origem) é dado pelo produto vetorial da posição r pela quantidade de movimento p:
L = r times p
Onde:
  • r é o vetor posição da partícula em relação à origem.
  • p = mv é a quantidade de movimento, com m sendo a massa da partícula e v sua velocidade.

Passo 4

Vamos identificar os vetores r e v para a nossa partícula.
A posição r é:
r = (0, d, z)
A velocidade v é a derivada da posição em relação ao tempo. Como x e y são constantes, suas derivadas são zero. A única componente não nula é:
v = (0, 0, dzdt)
Mas queremos expressar v em função de z, então vamos precisar relacionar dzdt com z.

Passo 5

Como a partícula está sob a ação da gravidade, a aceleração na direção z é -g (sendo g a aceleração da gravidade). Podemos usar as equações do movimento uniformemente acelerado para relacionar v e z.
A equação que relaciona a velocidade com a posição é:
v = dzdt = -raiz2g(h - z)
Aqui, usamos que a partícula parte do repouso, e a energia potencial gravitacional está se convertendo em energia cinética à medida que ela desce.

Passo 6

Agora, vamos voltar ao momento angular:
L = r times mv = m (r times v)
Substituindo r e v:
L = m i & j & k 0 & d & z 0 & 0 & -raiz2g(h - z)
Calculando o determinante, temos:
L = m [ i ( d cdot (-raiz2g(h - z)) - z cdot 0 ) - j ( 0 cdot (-raiz2g(h - z)) - z cdot 0 ) + k ( 0 cdot 0 - d cdot 0 ) ]
Isso simplifica para:
L = m ( -d raiz2g(h - z) , i )

Passo 7

Portanto, o momento angular L em função da altura z é:
L = -m d raiz2g(h - z) , i
Isso significa que o momento angular depende da altura z da partícula e está na direção negativa do eixo x.

Resposta

O momento angular da partícula em relação à origem, em função da altura z, é dado por:
L = -m d raiz2g(h - z) , i

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