Uma partícula é liberada, a partir do repouso, da posição , ficando apenas sob ação da gravidade. Calcule o momento angular da partícula, em relação a origem, em função da altura da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que começa parada no ponto e, depois, só a gravidade age sobre ela. Nossa missão aqui é descobrir qual é o momento angular dessa partícula em relação à origem enquanto ela desce, ou seja, em função da sua altura .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática (para entender o movimento da partícula) e de mecânica clássica, mais especificamente o cálculo do momento angular. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na posição da partícula ao longo do tempo. Ela começa em e está sujeita apenas à gravidade, que puxa ela para baixo na direção do eixo . Como a partícula parte do repouso, sua velocidade inicial é zero.
A posição da partícula em qualquer instante pode ser descrita por suas coordenadas . Mas como só a gravidade está agindo, e ela só afeta a direção , as coordenadas e permanecem constantes. Então, temos:
  • varia com o tempo conforme a partícula desce.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o momento angular. O momento angular de uma partícula em relação a um ponto (neste caso, a origem) é dado pelo produto vetorial da posição pela quantidade de movimento :
Onde:
  • é o vetor posição da partícula em relação à origem.
  • é a quantidade de movimento, com sendo a massa da partícula e sua velocidade.

Passo 4

Vamos identificar os vetores e para a nossa partícula.
A posição é:
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Como e são constantes, suas derivadas são zero. A única componente não nula é:
Mas queremos expressar em função de , então vamos precisar relacionar com .

Passo 5

Como a partícula está sob a ação da gravidade, a aceleração na direção é (sendo a aceleração da gravidade). Podemos usar as equações do movimento uniformemente acelerado para relacionar e .
A equação que relaciona a velocidade com a posição é:
Aqui, usamos que a partícula parte do repouso, e a energia potencial gravitacional está se convertendo em energia cinética à medida que ela desce.

Passo 6

Agora, vamos voltar ao momento angular:
Substituindo e :
Calculando o determinante, temos:
Isso simplifica para:

Passo 7

Portanto, o momento angular em função da altura é:
Isso significa que o momento angular depende da altura da partícula e está na direção negativa do eixo .

Resposta

O momento angular da partícula em relação à origem, em função da altura , é dado por:

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