Escreva a expressão para a derivada material (que surge na descrição lagrangiana) e explique o significado de cada termo desta expressão.
Passo 1
Beleza! Então, o exercício pede para a gente escrever a expressão da derivada material que aparece na descrição lagrangiana e explicar o que cada termo dessa expressão significa. Vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial e mecânica dos fluidos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada material. Ela é usada para descrever como uma certa quantidade (como a velocidade, temperatura, etc.) varia ao longo do tempo para uma partícula de fluido que está se movendo no espaço.
Passo 3
A expressão geral da derivada material é dada por:
Passo 4
Agora, vamos explicar cada termo dessa expressão:
-
: Esse é o operador de derivada parcial em relação ao tempo. Ele mede como a quantidade está mudando em um ponto fixo no espaço ao longo do tempo. -
: Esse é o vetor velocidade do fluido. Ele indica a velocidade com que a partícula de fluido está se movendo em cada direção do espaço. -
: Esse é o operador nabla, que representa o gradiente. Ele mede como a quantidade está variando no espaço. -
: Esse termo representa a contribuição da movimentação do fluido para a mudança da quantidade estudada. É basicamente como a quantidade muda devido ao fato de que a partícula está se movendo para diferentes pontos no espaço onde a quantidade pode ter valores diferentes.
Passo 5
Juntando tudo, a derivada material combina a variação local no tempo (
) com a variação advectiva devido ao movimento do fluido (
). Isso nos dá uma maneira completa de acompanhar a mudança de uma quantidade para uma partícula que está se deslocando no fluido.
Resposta
A derivada material é expressa por:
Onde:
-
representa a variação local no tempo, -
é o vetor velocidade do fluido, -
é o operador gradiente, -
capta a variação advectiva devido ao movimento do fluido.