Escreva a expressão para a derivada material (que surge na descrição lagrangiana) e explique o significado de cada termo desta expressão.

Passo 1

Beleza! Então, o exercício pede para a gente escrever a expressão da derivada material que aparece na descrição lagrangiana e explicar o que cada termo dessa expressão significa. Vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial e mecânica dos fluidos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada material. Ela é usada para descrever como uma certa quantidade (como a velocidade, temperatura, etc.) varia ao longo do tempo para uma partícula de fluido que está se movendo no espaço.

Passo 3

A expressão geral da derivada material é dada por:
DDt = partialpartial t + v cdot nabla

Passo 4

Agora, vamos explicar cada termo dessa expressão:
  • partialpartial t: Esse é o operador de derivada parcial em relação ao tempo. Ele mede como a quantidade está mudando em um ponto fixo no espaço ao longo do tempo.
  • v: Esse é o vetor velocidade do fluido. Ele indica a velocidade com que a partícula de fluido está se movendo em cada direção do espaço.
  • nabla: Esse é o operador nabla, que representa o gradiente. Ele mede como a quantidade está variando no espaço.
  • v cdot nabla: Esse termo representa a contribuição da movimentação do fluido para a mudança da quantidade estudada. É basicamente como a quantidade muda devido ao fato de que a partícula está se movendo para diferentes pontos no espaço onde a quantidade pode ter valores diferentes.

Passo 5

Juntando tudo, a derivada material combina a variação local no tempo ( partialpartial t) com a variação advectiva devido ao movimento do fluido ( v cdot nabla). Isso nos dá uma maneira completa de acompanhar a mudança de uma quantidade para uma partícula que está se deslocando no fluido.

Resposta

A derivada material é expressa por:
DDt = partialpartial t + v cdot nabla
Onde:
  • partialpartial t representa a variação local no tempo,
  • v é o vetor velocidade do fluido,
  • nabla é o operador gradiente,
  • v cdot nabla capta a variação advectiva devido ao movimento do fluido.

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