Um oscilador harmônico não amortecido satisfaz a equação de movimento
a força de impulsão é
.
Determine
para as condições iniciais
e
.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é sobre um oscilador harmônico não amortecido que está sendo puxado por uma força externa que varia com o tempo. A equação que descreve esse movimento é:
Onde a força de impulsão é dada por $ F(t) = F_{0} \sin (\omega t) $. Nosso objetivo é encontrar a posição $ x(t) $ do oscilador para as condições iniciais $ x(0) = 0 $ e $ v(0) = 0 $. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e soluções de equações não homogêneas. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de movimento com a força de impulsão inserida:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea porque tem um termo independente ($ \sin(\omega t) $) do lado direito.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte da equação sem a força externa:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com soluções baseadas em funções trigonométricas. A solução geral para essa equação é:
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar uma solução particular ($ x_{p}(t) $) para a equação completa (não homogênea). Dado que o termo forçado é $ \sin(\omega t) $, vamos assumir que a solução particular tem a forma:
Onde $ C $ é uma constante a ser determinada.
Passo 5
Vamos substituir $ x_{p}(t) $ na equação de movimento para encontrar $ C $:
Primeiro, calculamos a segunda derivada de $ x_{p}(t) $:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Logo, isolando $ C $:
Passo 6
Agora, a solução geral da equação de movimento é a soma da solução homogênea e da particular:
Passo 7
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes $ A $ e $ B $.
-
Condição inicial $ x(0) = 0 $:Substituindo $ t = 0 $ na solução geral:Como $ \cos(0) = 1 $ e $ \sin(0) = 0 $, temos:
-
Condição inicial $ v(0) = 0 $, onde $ v(t) = \frac{dx}{dt} $:Primeiro, encontramos a derivada da solução geral:Substituindo $ t = 0 $ e $ A = 0 $:Novamente, $ \cos(0) = 1 $, então:Resolvendo para $ B $:
Passo 8
Com os valores de $ A $ e $ B $, nossa solução final fica:
Simplificando, temos:
Resposta
A posição do oscilador em função do tempo é dada por: