Um oscilador harmônico não amortecido satisfaz a equação de movimento
d^2 xd t^2+omega0^2 x=F(t)m
a força de impulsão é F(t)=F0 sin (omega t).
Determine x(t) para as condições iniciais x(0)=0 e v(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é sobre um oscilador harmônico não amortecido que está sendo puxado por uma força externa que varia com o tempo. A equação que descreve esse movimento é:
d^2 xd t^2 + omega0^2 x = F(t)m
Onde a força de impulsão é dada por $ F(t) = F_{0} \sin (\omega t) $. Nosso objetivo é encontrar a posição $ x(t) $ do oscilador para as condições iniciais $ x(0) = 0 $ e $ v(0) = 0 $. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e soluções de equações não homogêneas. Bora resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de movimento com a força de impulsão inserida:
d^2 xd t^2 + omega0^2 x = F0m sin (omega t)
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea porque tem um termo independente ($ \sin(\omega t) $) do lado direito.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte da equação sem a força externa:
d^2 xd t^2 + omega0^2 x = 0
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com soluções baseadas em funções trigonométricas. A solução geral para essa equação é:
xh(t) = A cos(omega0 t) + B sin(omega0 t)
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar uma solução particular ($ x_{p}(t) $) para a equação completa (não homogênea). Dado que o termo forçado é $ \sin(\omega t) $, vamos assumir que a solução particular tem a forma:
xp(t)
Onde $ C $ é uma constante a ser determinada.

Passo 5

Vamos substituir $ x_{p}(t) $ na equação de movimento para encontrar $ C $:
Primeiro, calculamos a segunda derivada de $ x_{p}(t) $:
xp(t)
Substituindo na equação:
C
Simplificando:
xp(t)
Logo, isolando $ C $:
d^2 xpd t^2 = -C omega^2 sin(omega t)

Passo 6

Agora, a solução geral da equação de movimento é a soma da solução homogênea e da particular:
x(t) = xh(t) + xp(t) = A cos(omega0 t) + B sin(omega0 t) + F0m (omega0^2 - omega^2) sin(omega t)

Passo 7

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes $ A $ e $ B $.
  1. Condição inicial $ x(0) = 0 $:
    Substituindo $ t = 0 $ na solução geral:
    A
    Como $ \cos(0) = 1 $ e $ \sin(0) = 0 $, temos:
    B
  2. Condição inicial $ v(0) = 0 $, onde $ v(t) = \frac{dx}{dt} $:
    Primeiro, encontramos a derivada da solução geral:
    x(0) = 0
    Substituindo $ t = 0 $ e $ A = 0 $:
    t = 0
    Novamente, $ \cos(0) = 1 $, então:
    0 = A cos(0) + B sin(0) + F0m (omega0^2 - omega^2) sin(0)
    Resolvendo para $ B $:
    cos(0) = 1

Passo 8

Com os valores de $ A $ e $ B $, nossa solução final fica:
A
Simplificando, temos:
B

Resposta

A posição do oscilador em função do tempo é dada por:
x(t) = F0m (omega0^2 - omega^2) sin(omega t) - F0 omegam omega0 (omega0^2 - omega^2) sin(omega0 t)

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