Uma partícula se move com |v|= constante ao longo de uma curva |r|=k(1+cos phi) (cardióide). Calcule ddotr r,|a| e dotphi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se move com velocidade constante ao longo de uma curva chamada cardióide, cuja equação é $ |r| = k(1 + \cos \phi) |r| = k(1 + cos phi) êçã \ddot{\vec{r}} \cdot \hat{r} ddotr cdot r çã |\vec{a}| |a| \dot{\phi} $).
Para resolver isso, vamos usar a cinemática em coordenadas polares. Então, precisamos entender como expressar a posição, a velocidade e a aceleração nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a posição da partícula em coordenadas polares. A cardióide é dada por:
r(phi) = k(1 + cos phi)
Aqui, $ r $ é a distância da partícula até a origem, $ \phi $ é o ângulo, e $ k $ é uma constante.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade da partícula. Em coordenadas polares, a velocidade ($ \vec{v} $) tem duas componentes: radial e angular. Como a partícula está se movendo com velocidade constante $ |v| $, podemos escrever:
v
Como queremos facilitar, vamos expressar $ \frac{dr}{dt} $ em termos de $ \frac{d\phi}{dt} $. Primeiro, derivamos $ r(\phi) $ em relação ao tempo usando a regra da cadeia:
|v|

Passo 4

Substituindo $ \frac{dr}{dt} $ na equação da velocidade constante, temos:
drdt
Simplificando:
v^2 = (-k sin phi cdot dotphi)^2 + (k(1 + cos phi) cdot dotphi)^2
Fatorando $ k^2 \dot{\phi}^2 $:
v^2 = k^2 sin^2 phi cdot dotphi^2 + k^2 (1 + cos phi)^2 cdot dotphi^2
Expandindo $ (1 + \cos \phi)^2 $:
k^2 dotphi^2
Como $ \sin^2 \phi + \cos^2 \phi = 1 $:
v^2 = k^2 dotphi^2 (sin^2 phi + (1 + cos phi)^2)

Passo 5

Agora, vamos isolar $ \dot{\phi} $:
dotphi
Dividindo ambos os lados por $ 2k^2 (1 + \cos \phi) $:
v^2 = 2k^2 dotphi^2 (1 + cos phi)
Tirando a raiz quadrada:
2k^2 (1 + cos phi)

Passo 6

Agora, vamos calcular o componente radial da aceleração ($ a_r = \ddot{\vec{r}} \cdot \hat{r} $). Em coordenadas polares, a aceleração radial é dada por:
ar = ddotr cdot r
Primeiro, precisamos encontrar $ \ddot{r} $. Já sabemos que:
ar = ddotr - r dotphi^2
Derivando novamente em relação ao tempo:
ddotr
Mas como a velocidade $ v $ é constante, a aceleração tangencial é zero, então $ \ddot{\phi} $ pode ser relacionado através das equações, mas para simplificar, vamos considerar apenas as componentes principais.
Substituindo $ \dot{\phi} $ na expressão de $ a_r $:
drdt = -k sin phi cdot dotphi
Como $ \ddot{r} = 0 $ para velocidade constante (não há variação na velocidade radial):
ddotr = -k cos phi cdot dotphi^2 - k sin phi cdot ddotphi
Substituindo $ r = k(1 + \cos \phi) $ e $ \dot{\phi} $ que encontramos:
v

Passo 7

Agora, vamos calcular a magnitude da aceleração ($ |\vec{a}| $). Em coordenadas polares, a aceleração total é dada por:
|a|
Onde $ a_\phi = r \ddot{\phi} + 2 \dot{r} \dot{\phi} $. Mas como a velocidade é constante, algumas dessas derivadas anulam.
Usando $ \dot{\phi} $ e $ a_r $ que já encontramos:
|a| = raizar^2 + aphi^2
Para simplificar, considerando que a aceleração tangencial é nula (velocidade constante):
aphi = r ddotphi + 2 dotr dotphi

Resposta

Então, resumindo:
ddotr cdot r = -v^22k, |a| = v^22k, dotphi = vraiz2k raiz1 + cos phi

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