Uma partícula se move com
constante ao longo de uma curva
(cardióide). Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se move com velocidade constante ao longo de uma curva chamada cardióide, cuja equação é $ |r| = k(1 + \cos \phi)
\ddot{\vec{r}} \cdot \hat{r}
|\vec{a}|
\dot{\phi} $).
Para resolver isso, vamos usar a cinemática em coordenadas polares. Então, precisamos entender como expressar a posição, a velocidade e a aceleração nesse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a posição da partícula em coordenadas polares. A cardióide é dada por:
Aqui, $ r $ é a distância da partícula até a origem, $ \phi $ é o ângulo, e $ k $ é uma constante.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a velocidade da partícula. Em coordenadas polares, a velocidade ($ \vec{v} $) tem duas componentes: radial e angular. Como a partícula está se movendo com velocidade constante $ |v| $, podemos escrever:
Como queremos facilitar, vamos expressar $ \frac{dr}{dt} $ em termos de $ \frac{d\phi}{dt} $. Primeiro, derivamos $ r(\phi) $ em relação ao tempo usando a regra da cadeia:
Passo 4
Substituindo $ \frac{dr}{dt} $ na equação da velocidade constante, temos:
Simplificando:
Fatorando $ k^2 \dot{\phi}^2 $:
Expandindo $ (1 + \cos \phi)^2 $:
Como $ \sin^2 \phi + \cos^2 \phi = 1 $:
Passo 5
Agora, vamos isolar $ \dot{\phi} $:
Dividindo ambos os lados por $ 2k^2 (1 + \cos \phi) $:
Tirando a raiz quadrada:
Passo 6
Agora, vamos calcular o componente radial da aceleração ($ a_r = \ddot{\vec{r}} \cdot \hat{r} $). Em coordenadas polares, a aceleração radial é dada por:
Primeiro, precisamos encontrar $ \ddot{r} $. Já sabemos que:
Derivando novamente em relação ao tempo:
Mas como a velocidade $ v $ é constante, a aceleração tangencial é zero, então $ \ddot{\phi} $ pode ser relacionado através das equações, mas para simplificar, vamos considerar apenas as componentes principais.
Substituindo $ \dot{\phi} $ na expressão de $ a_r $:
Como $ \ddot{r} = 0 $ para velocidade constante (não há variação na velocidade radial):
Substituindo $ r = k(1 + \cos \phi) $ e $ \dot{\phi} $ que encontramos:
Passo 7
Agora, vamos calcular a magnitude da aceleração ($ |\vec{a}| $). Em coordenadas polares, a aceleração total é dada por:
Onde $ a_\phi = r \ddot{\phi} + 2 \dot{r} \dot{\phi} $. Mas como a velocidade é constante, algumas dessas derivadas anulam.
Usando $ \dot{\phi} $ e $ a_r $ que já encontramos:
Para simplificar, considerando que a aceleração tangencial é nula (velocidade constante):
Resposta
Então, resumindo: