Um disco com momento de inércia I1 roda livremente, no plano horizontal, em torno de um eixo fixo com velocidade angular omega1. Logo acima deste disco, há um segundo disco, de momento de inércia I2, que pode rodar livremente sobre o mesmo eixo. O eixo coincide com os eixos de simetria dos discos. O segundo disco está inicialmente em repouso e então é liberado, caindo sobre o primeiro e ficando rigidamente acoplado a ele. Calcule a variação de energia cinética do sistema acoplado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois discos girando em um eixo. O primeiro disco, com momento de inércia I1, está girando com uma certa velocidade angular omega1. O segundo disco, com momento de inércia I2, está parado no começo. Quando soltamos o segundo disco, ele cai sobre o primeiro e passa a girar junto com ele. Queremos saber quanto a energia cinética do sistema muda depois que os discos se acoplam.
Aqui, vamos usar os conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. O momento de inércia ( I) mede como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto maior o I, mais difícil é para mudar a rotação do objeto.
Também vamos precisar do conceito de energia cinética de rotação, que é dada por:
EC = 12 I omega^2
onde EC é a energia cinética, I é o momento de inércia e omega é a velocidade angular.

Passo 3

Antes dos discos se acoplarem, só o primeiro disco está girando. A energia cinética inicial ( ECinicial) é:
ECinicial = 12 I1 omega1^2

Passo 4

Quando os dois discos se acoplam, o sistema passa a ter um novo momento de inércia total, que é a soma dos momentos de inércia individuais:
Itotal = I1 + I2
Como não há torque externo agindo no sistema, o momento angular total é conservado. Então, o momento angular inicial ( Linicial) é igual ao momento angular final ( Lfinal):
Linicial = Lfinal
I1 omega1 = (I1 + I2) omegafinal
Resolvendo para omegafinal:
omegafinal = I1 omega1I1 + I2

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia cinética final ( ECfinal) do sistema acoplado:
ECfinal = 12 (I1 + I2) omegafinal^2
Substituindo omegafinal:
ECfinal = 12 (I1 + I2) ( I1 omega1I1 + I2 )^2
Simplificando:
ECfinal = 12 I1^2 omega1^2I1 + I2

Passo 6

A variação da energia cinética ( De) é a diferença entre a energia final e a inicial:
De
Substituindo os valores:
De
Colocando em evidência 12 I1 omega1^2:
De
De

Resposta

A variação da energia cinética do sistema acoplado é:
De

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