Um disco com momento de inércia
roda livremente, no plano horizontal, em torno de um eixo fixo com velocidade angular
. Logo acima deste disco, há um segundo disco, de momento de inércia
, que pode rodar livremente sobre o mesmo eixo. O eixo coincide com os eixos de simetria dos discos. O segundo disco está inicialmente em repouso e então é liberado, caindo sobre o primeiro e ficando rigidamente acoplado a ele. Calcule a variação de energia cinética do sistema acoplado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois discos girando em um eixo. O primeiro disco, com momento de inércia
, está girando com uma certa velocidade angular
. O segundo disco, com momento de inércia
, está parado no começo. Quando soltamos o segundo disco, ele cai sobre o primeiro e passa a girar junto com ele. Queremos saber quanto a energia cinética do sistema muda depois que os discos se acoplam.
Aqui, vamos usar os conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. O momento de inércia (
) mede como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto maior o
, mais difícil é para mudar a rotação do objeto.
Também vamos precisar do conceito de energia cinética de rotação, que é dada por:
onde
é a energia cinética,
é o momento de inércia e
é a velocidade angular.
Passo 3
Antes dos discos se acoplarem, só o primeiro disco está girando. A energia cinética inicial (
) é:
Passo 4
Quando os dois discos se acoplam, o sistema passa a ter um novo momento de inércia total, que é a soma dos momentos de inércia individuais:
Como não há torque externo agindo no sistema, o momento angular total é conservado. Então, o momento angular inicial (
) é igual ao momento angular final (
):
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia cinética final (
) do sistema acoplado:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 6
A variação da energia cinética (
) é a diferença entre a energia final e a inicial:
Substituindo os valores:
Colocando em evidência
:
Resposta
A variação da energia cinética do sistema acoplado é: