Um disco com momento de inércia roda livremente, no plano horizontal, em torno de um eixo fixo com velocidade angular . Logo acima deste disco, há um segundo disco, de momento de inércia , que pode rodar livremente sobre o mesmo eixo. O eixo coincide com os eixos de simetria dos discos. O segundo disco está inicialmente em repouso e então é liberado, caindo sobre o primeiro e ficando rigidamente acoplado a ele. Calcule a variação de energia cinética do sistema acoplado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois discos girando em um eixo. O primeiro disco, com momento de inércia , está girando com uma certa velocidade angular . O segundo disco, com momento de inércia , está parado no começo. Quando soltamos o segundo disco, ele cai sobre o primeiro e passa a girar junto com ele. Queremos saber quanto a energia cinética do sistema muda depois que os discos se acoplam.
Aqui, vamos usar os conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. O momento de inércia ( ) mede como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto maior o , mais difícil é para mudar a rotação do objeto.
Também vamos precisar do conceito de energia cinética de rotação, que é dada por:
onde é a energia cinética, é o momento de inércia e é a velocidade angular.

Passo 3

Antes dos discos se acoplarem, só o primeiro disco está girando. A energia cinética inicial ( ) é:

Passo 4

Quando os dois discos se acoplam, o sistema passa a ter um novo momento de inércia total, que é a soma dos momentos de inércia individuais:
Como não há torque externo agindo no sistema, o momento angular total é conservado. Então, o momento angular inicial ( ) é igual ao momento angular final ( ):
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia cinética final ( ) do sistema acoplado:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 6

A variação da energia cinética ( ) é a diferença entre a energia final e a inicial:
Substituindo os valores:
Colocando em evidência :

Resposta

A variação da energia cinética do sistema acoplado é:

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