Uma bala de massa igual a
é disparada horizontalmente para dentro de um bloco de madeira de
em repouso sobre uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície é de 0,2 . A bala pára no bloco, que desliza exatamente para frente por
(sem rotação). Com que velocidade a bala foi disparada? (Resp.: (b)
)
Passo 1
Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bala com massa de
que é disparada horizontalmente e fica presa em um bloco de madeira de
que está parado sobre uma superfície. O atrito entre o bloco e a superfície tem um coeficiente de
. Quando a bala para no bloco, esse conjunto desliza por
até parar. Queremos descobrir com que velocidade a bala foi disparada inicialmente. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de momentum (quantidade de movimento) e leis de movimento de Newton, especialmente relacionadas ao atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos. A massa da bala é
, que em kg fica:
Passo 3
A massa total do sistema após a bala se prender no bloco é a soma das massas:
Passo 4
Vamos usar a lei da conservação do momentum para o choque entre a bala e o bloco. Antes do impacto, apenas a bala está em movimento, e o bloco está parado. Após o impacto, eles se movem juntos com uma velocidade comum
. A conservação do momentum nos dá:
Mas ainda não sabemos
, então precisamos achar uma relação para isso.
Passo 5
Após o impacto, o bloco e a bala deslizam até parar devido ao atrito. A força de atrito
pode ser calculada por:
Onde:
-
é o coeficiente de atrito cinético -
é a aceleração da gravidade
Passo 6
A força de atrito também está relacionada ao trabalho realizado para parar o movimento. O trabalho
realizado pelo atrito é igual à energia cinética inicial do sistema:
Onde
é a distância percorrida até parar. Então:
Passo 7
Podemos simplificar a equação acima cancelando
de ambos os lados:
Resolvendo para
:
Calculando os valores:
Passo 8
Agora que temos a velocidade
do sistema após o impacto, podemos usar a conservação do momentum para encontrar a velocidade inicial da bala
:
Resolvendo para
:
Resposta
A bala foi disparada com uma velocidade de aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Existem alguns problemas unidimensionais simples para os quais a equação de movimento (segunda lei de Newton) pode ser resolvida, ou pelo menos reduzida a um problema envolvendo a resolução de uma integral. Um desses é o movimento unidimensional de uma partícula sujeita a uma força que depende apenas da velocidade v, ou seja,
v). Escreva a segunda lei de Newton e separe as variáveis reescrevendo-a como
. Agora, integre ambos os lados dessa equação e mostre que
Desde que você consiga resolver a integral, essa fornece
como função de
. Você pode, então, resolver para obter
como função de
. Use esse método (separação de variáveis) para resolver o caso especial em que
, uma constante, e comente o resultado.
Uma bola de golfe é atirada do nível do solo com uma velocidade
na direção leste e com angulo
acima da horizontal. Desprezando a resistência do ar, use a segunda lei de Newton para determinar a posição como uma função do tempo, usando coordenadas onde
mede na direção leste,
, na direção norte e
, verticalmente para cima. Determine o tempo para a bola de golfe retornar ao solo e qual o alcance da bola para esse tempo.
Considere uma massa
forçada a mover-se sobre o eixo
e sujeita a uma força resultante
, onde k é uma constante positiva. A massa é largada a partir do repouso em
no instante
. Determine a velocidade da massa como uma função de
, isto é,
para alguma função
. Separe isso como
e integre no tempo 0 até
para determinar
como uma função de
.
Considere o projétil estudado na aula na seção TRAJETORIA E ALCANCE EM UM MEIO LINEAR. (a) Assumindo que não há resistência do ar, escreva a posição
como função de
e elimine
para obter a trajetória
como função de
. (b) A trajetória correta, incluindo a força de arrasto linear, é dada por
Mostre que isso se reduz a nossa resposta para o item (a) quando a resistência do ar é desprezada (
e
ambos tendem a infinito) [Sugestão: lembre-se da série de Taylor para
.].