Uma bala de massa igual a é disparada horizontalmente para dentro de um bloco de madeira de em repouso sobre uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície é de 0,2 . A bala pára no bloco, que desliza exatamente para frente por (sem rotação). Com que velocidade a bala foi disparada? (Resp.: (b) )

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bala com massa de que é disparada horizontalmente e fica presa em um bloco de madeira de que está parado sobre uma superfície. O atrito entre o bloco e a superfície tem um coeficiente de . Quando a bala para no bloco, esse conjunto desliza por até parar. Queremos descobrir com que velocidade a bala foi disparada inicialmente. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de momentum (quantidade de movimento) e leis de movimento de Newton, especialmente relacionadas ao atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos. A massa da bala é , que em kg fica:

Passo 3

A massa total do sistema após a bala se prender no bloco é a soma das massas:

Passo 4

Vamos usar a lei da conservação do momentum para o choque entre a bala e o bloco. Antes do impacto, apenas a bala está em movimento, e o bloco está parado. Após o impacto, eles se movem juntos com uma velocidade comum . A conservação do momentum nos dá:
Mas ainda não sabemos , então precisamos achar uma relação para isso.

Passo 5

Após o impacto, o bloco e a bala deslizam até parar devido ao atrito. A força de atrito pode ser calculada por:
Onde:
  • é o coeficiente de atrito cinético
  • é a aceleração da gravidade

Passo 6

A força de atrito também está relacionada ao trabalho realizado para parar o movimento. O trabalho realizado pelo atrito é igual à energia cinética inicial do sistema:
Onde é a distância percorrida até parar. Então:

Passo 7

Podemos simplificar a equação acima cancelando de ambos os lados:
Resolvendo para :
Calculando os valores:

Passo 8

Agora que temos a velocidade do sistema após o impacto, podemos usar a conservação do momentum para encontrar a velocidade inicial da bala :
Resolvendo para :

Resposta

A bala foi disparada com uma velocidade de aproximadamente .

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Desde que você consiga resolver a integral, essa fornece como função de . Você pode, então, resolver para obter como função de . Use esse método (separação de variáveis) para resolver o caso especial em que , uma constante, e comente o resultado.
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Considere o projétil estudado na aula na seção TRAJETORIA E ALCANCE EM UM MEIO LINEAR. (a) Assumindo que não há resistência do ar, escreva a posição como função de e elimine para obter a trajetória como função de . (b) A trajetória correta, incluindo a força de arrasto linear, é dada por
Mostre que isso se reduz a nossa resposta para o item (a) quando a resistência do ar é desprezada ( e ambos tendem a infinito) [Sugestão: lembre-se da série de Taylor para .].