Uma bola de golfe é atirada do nível do solo com uma velocidade v0 na direção leste e com angulo theta acima da horizontal. Desprezando a resistência do ar, use a segunda lei de Newton para determinar a posição como uma função do tempo, usando coordenadas onde x mede na direção leste, y, na direção norte e z, verticalmente para cima. Determine o tempo para a bola de golfe retornar ao solo e qual o alcance da bola para esse tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma bola de golfe lançada do chão com uma velocidade inicial na direção leste e formando um ângulo acima da horizontal. O objetivo é usar a segunda lei de Newton para encontrar a posição da bola em função do tempo, e também determinar quanto tempo ela leva para voltar ao solo e qual é o alcance dessa trajetória.
Conteúdo da matéria: Cinemática de projéteis e leis do movimento de Newton.
O que vamos precisar:
  • Componentes das velocidades inicial nas direções (leste) e (vertical).
  • Equações do movimento uniformemente variado para a direção vertical.
  • Segunda lei de Newton para relacionar força e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial v0x = v0 costheta nas duas direções relevantes: leste ( v0z = v0 sintheta ) e vertical ( ). Como o lançamento é a um ângulo acima da horizontal, usamos trigonometria para encontrar essas componentes.
  • Componente na direção leste ( ):
  • Componente na direção vertical ( ):

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento em cada direção separadamente. Na direção leste ( x(t) = v0x cdot t = v0 costheta cdot t ), não há aceleração porque estamos desprezando a resistência do ar. Portanto, o movimento é uniforme.
Equação da posição na direção :

Passo 4

Já na direção vertical ( F = m cdot a ), a única força agindo é a gravidade, que causa uma aceleração negativa ( az = -g ). Usando a segunda lei de Newton, sabemos que:
z(t) = v0z cdot t + 12 az cdot t^2 = v0 sintheta cdot t - 12 g t^2
Como (força gravitacional para baixo), a aceleração na direção é:
Agora, aplicamos as equações do movimento uniformemente variado para encontrar a posição na direção .
Equação da posição na direção :

Passo 5

Para encontrar o tempo total até que a bola volte ao solo, precisamos determinar quando a posição z(t) = 0 = v0 sintheta cdot t - 12 g t^2 será igual a zero novamente (após o lançamento).
t ( v0 sintheta - 12 g t ) = 0
Podemos fatorar :
Isso nos dá duas soluções:
  1. (no momento do lançamento)
Ignoramos a solução porque estamos interessados no tempo após o lançamento.

Passo 6

Agora que temos o tempo total de voo x(ttotal) = v0 costheta cdot ttotal = v0 costheta cdot 2 v0 sinthetag = 2 v0^2 sintheta costhetag , podemos calcular o alcance da bola, que é a distância percorrida na direção leste ( x(ttotal) = v0^2 sin(2theta)g ) nesse tempo.
Usamos a equação de :
Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica :

Resposta

O tempo que a bola de golfe leva para retornar ao solo é:
ttotal = 2 v0 sinthetag
E o alcance da bola é:
x(ttotal) = v0^2 sin(2theta)g

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