Uma bola de golfe é atirada do nível do solo com uma velocidade
na direção leste e com angulo
acima da horizontal. Desprezando a resistência do ar, use a segunda lei de Newton para determinar a posição como uma função do tempo, usando coordenadas onde
mede na direção leste,
, na direção norte e
, verticalmente para cima. Determine o tempo para a bola de golfe retornar ao solo e qual o alcance da bola para esse tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma bola de golfe lançada do chão com uma velocidade inicial
na direção leste e formando um ângulo
acima da horizontal. O objetivo é usar a segunda lei de Newton para encontrar a posição da bola em função do tempo, e também determinar quanto tempo ela leva para voltar ao solo e qual é o alcance dessa trajetória.
Conteúdo da matéria: Cinemática de projéteis e leis do movimento de Newton.
O que vamos precisar:
- Componentes das velocidades inicial nas direções
(leste) e (vertical). - Equações do movimento uniformemente variado para a direção vertical.
- Segunda lei de Newton para relacionar força e aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial
nas duas direções relevantes: leste (
) e vertical (
). Como o lançamento é a um ângulo
acima da horizontal, usamos trigonometria para encontrar essas componentes.
-
Componente na direção leste (
): -
Componente na direção vertical (
):
Passo 3
Agora, vamos analisar o movimento em cada direção separadamente. Na direção leste (
), não há aceleração porque estamos desprezando a resistência do ar. Portanto, o movimento é uniforme.
Equação da posição na direção
:
Passo 4
Já na direção vertical (
), a única força agindo é a gravidade, que causa uma aceleração negativa (
). Usando a segunda lei de Newton, sabemos que:
Como
(força gravitacional para baixo), a aceleração
na direção
é:
Agora, aplicamos as equações do movimento uniformemente variado para encontrar a posição na direção
.
Equação da posição na direção
:
Passo 5
Para encontrar o tempo total até que a bola volte ao solo, precisamos determinar quando a posição
será igual a zero novamente (após o lançamento).
Podemos fatorar
:
Isso nos dá duas soluções:
-
(no momento do lançamento) -
Ignoramos a solução
porque estamos interessados no tempo após o lançamento.
Passo 6
Agora que temos o tempo total de voo
, podemos calcular o alcance da bola, que é a distância percorrida na direção leste (
) nesse tempo.
Usamos a equação de
:
Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica
:
Resposta
O tempo que a bola de golfe leva para retornar ao solo é:
E o alcance da bola é: