Considere uma massa
forçada a mover-se sobre o eixo
e sujeita a uma força resultante
, onde k é uma constante positiva. A massa é largada a partir do repouso em
no instante
. Determine a velocidade da massa como uma função de
, isto é,
para alguma função
. Separe isso como
e integre no tempo 0 até
para determinar
como uma função de
.
Passo 1
Vamos entender o que está acontecendo nessa questão. Temos uma massa
que está se movendo ao longo do eixo
e é sujeita a uma força resultante
, onde
é uma constante positiva. O conteúdo principal aqui envolve Leis de Newton e Movimento Harmônico Simples. Para resolver, vamos precisar usar a segunda lei de Newton e técnicas de cálculo para integrar as equações de movimento.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Segunda Lei de Newton, que nos diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração (
). Como a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo (
), podemos escrever:
Isso nos dá a equação diferencial:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a velocidade
como uma função de
. Vamos reescrever a equação usando a relação entre aceleração e velocidade:
Substituindo na equação original:
Podemos rearranjar para separar as variáveis
e
:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados para encontrar a relação entre
e
:
Integrando:
Onde
é a constante de integração. Para determinar
, usamos a condição inicial: a massa parte do repouso em
, então
quando
:
Substituindo
de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A velocidade da massa em função de
é dada por: