Considere uma massa
forçada a mover-se sobre o eixo
e sujeita a uma força resultante
, onde k é uma constante positiva. A massa é largada a partir do repouso em
no instante
. Determine a velocidade da massa como uma função de
, isto é,
para alguma função
. Separe isso como
e integre no tempo 0 até
para determinar
como uma função de
.
Passo 1
Vamos entender o que está acontecendo nessa questão. Temos uma massa
que está se movendo ao longo do eixo
e é sujeita a uma força resultante
, onde
é uma constante positiva. O conteúdo principal aqui envolve Leis de Newton e Movimento Harmônico Simples. Para resolver, vamos precisar usar a segunda lei de Newton e técnicas de cálculo para integrar as equações de movimento.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Segunda Lei de Newton, que nos diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração (
). Como a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo (
), podemos escrever:
Isso nos dá a equação diferencial:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a velocidade
como uma função de
. Vamos reescrever a equação usando a relação entre aceleração e velocidade:
Substituindo na equação original:
Podemos rearranjar para separar as variáveis
e
:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados para encontrar a relação entre
e
:
Integrando:
Onde
é a constante de integração. Para determinar
, usamos a condição inicial: a massa parte do repouso em
, então
quando
:
Substituindo
de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A velocidade da massa em função de
é dada por:
Exercícios relacionados
Uma bala de massa igual a
é disparada horizontalmente para dentro de um bloco de madeira de
em repouso sobre uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície é de 0,2 . A bala pára no bloco, que desliza exatamente para frente por
(sem rotação). Com que velocidade a bala foi disparada? (Resp.: (b)
)
Existem alguns problemas unidimensionais simples para os quais a equação de movimento (segunda lei de Newton) pode ser resolvida, ou pelo menos reduzida a um problema envolvendo a resolução de uma integral. Um desses é o movimento unidimensional de uma partícula sujeita a uma força que depende apenas da velocidade v, ou seja,
v). Escreva a segunda lei de Newton e separe as variáveis reescrevendo-a como
. Agora, integre ambos os lados dessa equação e mostre que
Desde que você consiga resolver a integral, essa fornece
como função de
. Você pode, então, resolver para obter
como função de
. Use esse método (separação de variáveis) para resolver o caso especial em que
, uma constante, e comente o resultado.
Considere o projétil estudado na aula na seção TRAJETORIA E ALCANCE EM UM MEIO LINEAR. (a) Assumindo que não há resistência do ar, escreva a posição
como função de
e elimine
para obter a trajetória
como função de
. (b) A trajetória correta, incluindo a força de arrasto linear, é dada por
Mostre que isso se reduz a nossa resposta para o item (a) quando a resistência do ar é desprezada (
e
ambos tendem a infinito) [Sugestão: lembre-se da série de Taylor para
.].
A velocidade limite de um paraquedista de 70 kg na posição spread-eagle (braços e pernas abertos) é de aproximadamente
. Determine sua velocidade nos instante
segundos após ele ter saltado de um balão estacionário. Compare com as velocidades correspondentes se não houver resistência do ar.