Considere uma massa forçada a mover-se sobre o eixo e sujeita a uma força resultante , onde k é uma constante positiva. A massa é largada a partir do repouso em no instante . Determine a velocidade da massa como uma função de , isto é, para alguma função . Separe isso como e integre no tempo 0 até para determinar como uma função de .

Passo 1

Vamos entender o que está acontecendo nessa questão. Temos uma massa que está se movendo ao longo do eixo e é sujeita a uma força resultante , onde é uma constante positiva. O conteúdo principal aqui envolve Leis de Newton e Movimento Harmônico Simples. Para resolver, vamos precisar usar a segunda lei de Newton e técnicas de cálculo para integrar as equações de movimento.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Segunda Lei de Newton, que nos diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração ( ). Como a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo ( ), podemos escrever:
Isso nos dá a equação diferencial:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a velocidade como uma função de . Vamos reescrever a equação usando a relação entre aceleração e velocidade:
Substituindo na equação original:
Podemos rearranjar para separar as variáveis e :

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados para encontrar a relação entre e :
Integrando:
Onde é a constante de integração. Para determinar , usamos a condição inicial: a massa parte do repouso em , então quando :
Substituindo de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A velocidade da massa em função de é dada por:

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