Considere uma massa m forçada a mover-se sobre o eixo x e sujeita a uma força resultante F=-k x, onde k é uma constante positiva. A massa é largada a partir do repouso em x=x0 no instante t=0. Determine a velocidade da massa como uma função de x, isto é, d x / d t=g(x) para alguma função g(x). Separe isso como d x / g(x)=d t e integre no tempo 0 até t para determinar x como uma função de t.

Passo 1

Vamos entender o que está acontecendo nessa questão. Temos uma massa que está se movendo ao longo do eixo e é sujeita a uma força resultante , onde é uma constante positiva. O conteúdo principal aqui envolve Leis de Newton e Movimento Harmônico Simples. Para resolver, vamos precisar usar a segunda lei de Newton e técnicas de cálculo para integrar as equações de movimento.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Segunda Lei de Newton, que nos diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração ( F = m d^2xdt^2 = -k x ). Como a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo ( m d^2xdt^2 + k x = 0 ), podemos escrever:
Isso nos dá a equação diferencial:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a velocidade a = dvdt = dvdx cdot dxdt = v dvdx como uma função de m v dvdx + k x = 0 . Vamos reescrever a equação usando a relação entre aceleração e velocidade:
v dvdx = -km x
Substituindo na equação original:
v , dv = -km x , dx
Podemos rearranjar para separar as variáveis e :

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados para encontrar a relação entre integral v , dv = -km integral x , dx e 12 v^2 = -k2m x^2 + C :
0 = -k2m x0^2 + C implies C = k2m x0^2
Integrando:
12 v^2 = -k2m x^2 + k2m x0^2
Onde v^2 = km (x0^2 - x^2) é a constante de integração. Para determinar v = raizkm (x0^2 - x^2) , usamos a condição inicial: a massa parte do repouso em , então quando :
Substituindo de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A velocidade da massa em função de dxdt = raizkm ( x0^2 - x^2 ) é dada por:

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