Considere o projétil estudado na aula na seção TRAJETORIA E ALCANCE EM UM MEIO LINEAR. (a) Assumindo que não há resistência do ar, escreva a posição
como função de
e elimine
para obter a trajetória
como função de
. (b) A trajetória correta, incluindo a força de arrasto linear, é dada por
Mostre que isso se reduz a nossa resposta para o item (a) quando a resistência do ar é desprezada (
e
ambos tendem a infinito) [Sugestão: lembre-se da série de Taylor para
.].
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar o movimento de um projétil. A gente vai trabalhar com duas partes:
a) Primeiro, sem considerar a resistência do ar, vamos escrever as posições
e
em função do tempo
e depois eliminar o
para obter a trajetória
em função de
.
b) Depois, com a resistência do ar incluída na equação da trajetória, vamos mostrar que, se ignorarmos essa resistência, a equação se reduz à resposta do item a). Para isso, vamos usar a série de Taylor para o logaritmo.
Vamos começar com o item a)!
Passo 2
Primeiro, sem resistência do ar, o movimento do projétil é influenciado apenas pela gravidade. As equações de posição são baseadas nas leis do movimento uniformemente acelerado.
A posição no eixo
(horizontal) é dada por:
Onde
é a velocidade inicial na direção
.
A posição no eixo
(vertical) é dada por:
Aqui,
é a velocidade inicial na direção
e
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Agora, queremos eliminar o tempo
para obter
em função de
. Da equação de
, podemos resolver para
:
Vamos substituir esse valor de
na equação de
:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Essa é a equação da trajetória do projétil sem resistência do ar, onde
depende de
de forma quadrática.
Passo 5
Agora, vamos para o item b). A equação da trajetória com resistência do ar é dada por:
Queremos mostrar que, ao deixar
e
tendendo a infinito, essa equação se reduz à que encontramos no item a).
Passo 6
Vamos analisar o limite quando
e
. Nesse caso, o termo
fica muito pequeno, pois
está indo para o infinito. Podemos chamar esse termo de
, onde
.
A sugestão é usar a série de Taylor para
:
Como
é muito pequeno, podemos aproximar
.
Passo 7
Substituindo essa aproximação na equação da trajetória:
Simplificando:
Passo 8
Agora, lembrando que
e
, o termo
é exatamente o primeiro termo da equação da trajetória sem resistência do ar que encontramos no item a). Os outros termos tendem a zero ou se cancelam, deixando apenas:
Resposta
Portanto, ao desprezar a resistência do ar (
e
tendem a infinito), a trajetória com resistência se reduz à trajetória sem resistência:
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forçada a mover-se sobre o eixo
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, onde k é uma constante positiva. A massa é largada a partir do repouso em
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, isto é,
para alguma função
. Separe isso como
e integre no tempo 0 até
para determinar
como uma função de
.
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