Considere o projétil estudado na aula na seção TRAJETORIA E ALCANCE EM UM MEIO LINEAR. (a) Assumindo que não há resistência do ar, escreva a posição (x, y) como função de t e elimine t para obter a trajetória y como função de x. (b) A trajetória correta, incluindo a força de arrasto linear, é dada por
y=vy o+vlim vx o x+vlim tau ln (1-xvx o tau)
Mostre que isso se reduz a nossa resposta para o item (a) quando a resistência do ar é desprezada ( tau e Vlim= g tau ambos tendem a infinito) [Sugestão: lembre-se da série de Taylor para ln (1-varepsilon).].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar o movimento de um projétil. A gente vai trabalhar com duas partes:
a) Primeiro, sem considerar a resistência do ar, vamos escrever as posições e em função do tempo e depois eliminar o para obter a trajetória em função de .
b) Depois, com a resistência do ar incluída na equação da trajetória, vamos mostrar que, se ignorarmos essa resistência, a equação se reduz à resposta do item a). Para isso, vamos usar a série de Taylor para o logaritmo.
Vamos começar com o item a)!

Passo 2

Primeiro, sem resistência do ar, o movimento do projétil é influenciado apenas pela gravidade. As equações de posição são baseadas nas leis do movimento uniformemente acelerado.
A posição no eixo x(t) = vx0 cdot t (horizontal) é dada por:
y(t) = vy0 cdot t - 12 g t^2
Onde é a velocidade inicial na direção .
A posição no eixo (vertical) é dada por:
Aqui, é a velocidade inicial na direção e é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Agora, queremos eliminar o tempo t = xvx0 para obter y = vy0 cdot (xvx0) - 12 g (xvx0)^2 em função de . Da equação de , podemos resolver para :
Vamos substituir esse valor de na equação de :

Passo 4

Simplificando a expressão:
y = vy0vx0 x - g2 vx0^2 x^2
Essa é a equação da trajetória do projétil sem resistência do ar, onde depende de de forma quadrática.

Passo 5

Agora, vamos para o item b). A equação da trajetória com resistência do ar é dada por:
y = vy0 + vlimvx0 x + vlim tau ln(1 - xvx0 tau)
Queremos mostrar que, ao deixar e tendendo a infinito, essa equação se reduz à que encontramos no item a).

Passo 6

Vamos analisar o limite quando ln(1 - varepsilon) approx -varepsilon - varepsilon^22 - dots e . Nesse caso, o termo fica muito pequeno, pois está indo para o infinito. Podemos chamar esse termo de , onde .
A sugestão é usar a série de Taylor para :
Como é muito pequeno, podemos aproximar .

Passo 7

Substituindo essa aproximação na equação da trajetória:
y approx vy0 + vlimvx0 x + vlim tau (-xvx0 tau)
Simplificando:
y approx vy0 + vlimvx0 x - vlim tau xvx0 tau
y approx vy0 + vlimvx0 x - vlimvx0 x
y approx vy0vx0 x

Passo 8

Agora, lembrando que y = vy0vx0 x - g2 vx0^2 x^2 e , o termo é exatamente o primeiro termo da equação da trajetória sem resistência do ar que encontramos no item a). Os outros termos tendem a zero ou se cancelam, deixando apenas:

Resposta

Portanto, ao desprezar a resistência do ar ( y = vy0vx0 x - g2 vx0^2 x^2 e tendem a infinito), a trajetória com resistência se reduz à trajetória sem resistência:

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