Considere o projétil estudado na aula na seção TRAJETORIA E ALCANCE EM UM MEIO LINEAR. (a) Assumindo que não há resistência do ar, escreva a posição como função de e elimine para obter a trajetória como função de . (b) A trajetória correta, incluindo a força de arrasto linear, é dada por
Mostre que isso se reduz a nossa resposta para o item (a) quando a resistência do ar é desprezada ( e ambos tendem a infinito) [Sugestão: lembre-se da série de Taylor para .].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar o movimento de um projétil. A gente vai trabalhar com duas partes:
a) Primeiro, sem considerar a resistência do ar, vamos escrever as posições e em função do tempo e depois eliminar o para obter a trajetória em função de .
b) Depois, com a resistência do ar incluída na equação da trajetória, vamos mostrar que, se ignorarmos essa resistência, a equação se reduz à resposta do item a). Para isso, vamos usar a série de Taylor para o logaritmo.
Vamos começar com o item a)!

Passo 2

Primeiro, sem resistência do ar, o movimento do projétil é influenciado apenas pela gravidade. As equações de posição são baseadas nas leis do movimento uniformemente acelerado.
A posição no eixo (horizontal) é dada por:
Onde é a velocidade inicial na direção .
A posição no eixo (vertical) é dada por:
Aqui, é a velocidade inicial na direção e é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Agora, queremos eliminar o tempo para obter em função de . Da equação de , podemos resolver para :
Vamos substituir esse valor de na equação de :

Passo 4

Simplificando a expressão:
Essa é a equação da trajetória do projétil sem resistência do ar, onde depende de de forma quadrática.

Passo 5

Agora, vamos para o item b). A equação da trajetória com resistência do ar é dada por:
Queremos mostrar que, ao deixar e tendendo a infinito, essa equação se reduz à que encontramos no item a).

Passo 6

Vamos analisar o limite quando e . Nesse caso, o termo fica muito pequeno, pois está indo para o infinito. Podemos chamar esse termo de , onde .
A sugestão é usar a série de Taylor para :
Como é muito pequeno, podemos aproximar .

Passo 7

Substituindo essa aproximação na equação da trajetória:
Simplificando:

Passo 8

Agora, lembrando que e , o termo é exatamente o primeiro termo da equação da trajetória sem resistência do ar que encontramos no item a). Os outros termos tendem a zero ou se cancelam, deixando apenas:

Resposta

Portanto, ao desprezar a resistência do ar ( e tendem a infinito), a trajetória com resistência se reduz à trajetória sem resistência:

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