Existem alguns problemas unidimensionais simples para os quais a equação de movimento (segunda lei de Newton) pode ser resolvida, ou pelo menos reduzida a um problema envolvendo a resolução de uma integral. Um desses é o movimento unidimensional de uma partícula sujeita a uma força que depende apenas da velocidade v, ou seja,
v). Escreva a segunda lei de Newton e separe as variáveis reescrevendo-a como
. Agora, integre ambos os lados dessa equação e mostre que
Desde que você consiga resolver a integral, essa fornece
como função de
. Você pode, então, resolver para obter
como função de
. Use esse método (separação de variáveis) para resolver o caso especial em que
, uma constante, e comente o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa trabalhar com a segunda lei de Newton para um movimento unidimensional onde a força depende só da velocidade, ou seja,
. A ideia é separar as variáveis na equação e integrar para encontrar uma relação entre tempo
e velocidade
. No final, vamos aplicar isso para o caso especial onde a força
é uma constante
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton. Ela diz que a força resultante
que atua em uma partícula é igual à massa
dessa partícula multiplicada pela sua aceleração
:
Como aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, podemos escrever:
Passo 3
Agora, queremos separar as variáveis
e
para conseguir integrar os dois lados da equação. Para isso, vamos rearranjar a equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Agora, isolamos
:
Ou, de forma equivalente:
Passo 4
Com as variáveis separadas, agora podemos integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar o lado esquerdo de
até
e o lado direito de 0 até
:
A integral do lado esquerdo fica:
E a integral do lado direito é simplesmente
:
Então, chegamos à relação:
Isso mostra que, se conseguirmos resolver essa integral, podemos expressar
como uma função de
e, eventualmente, inverter essa relação para encontrar
em função de
.
Passo 5
Agora, vamos aplicar esse método para o caso especial em que a força
é uma constante, ou seja,
.
Substituindo
por
na equação que encontramos:
Como
é constante, podemos tirá-lo da integral:
A integral de
de
até
é simplesmente
:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
em função de
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Finalmente, isolando
:
Isso nos mostra que, quando a força
é constante, a velocidade da partícula aumenta de forma linear com o tempo.
Resposta
Ou seja, a velocidade
aumenta linearmente com o tempo
, com uma taxa de aceleração constante
.