Existem alguns problemas unidimensionais simples para os quais a equação de movimento (segunda lei de Newton) pode ser resolvida, ou pelo menos reduzida a um problema envolvendo a resolução de uma integral. Um desses é o movimento unidimensional de uma partícula sujeita a uma força que depende apenas da velocidade v, ou seja,
v). Escreva a segunda lei de Newton e separe as variáveis reescrevendo-a como
. Agora, integre ambos os lados dessa equação e mostre que
Desde que você consiga resolver a integral, essa fornece
como função de
. Você pode, então, resolver para obter
como função de
. Use esse método (separação de variáveis) para resolver o caso especial em que
, uma constante, e comente o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa trabalhar com a segunda lei de Newton para um movimento unidimensional onde a força depende só da velocidade, ou seja,
. A ideia é separar as variáveis na equação e integrar para encontrar uma relação entre tempo
e velocidade
. No final, vamos aplicar isso para o caso especial onde a força
é uma constante
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton. Ela diz que a força resultante
que atua em uma partícula é igual à massa
dessa partícula multiplicada pela sua aceleração
:
Como aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, podemos escrever:
Passo 3
Agora, queremos separar as variáveis
e
para conseguir integrar os dois lados da equação. Para isso, vamos rearranjar a equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Agora, isolamos
:
Ou, de forma equivalente:
Passo 4
Com as variáveis separadas, agora podemos integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar o lado esquerdo de
até
e o lado direito de 0 até
:
A integral do lado esquerdo fica:
E a integral do lado direito é simplesmente
:
Então, chegamos à relação:
Isso mostra que, se conseguirmos resolver essa integral, podemos expressar
como uma função de
e, eventualmente, inverter essa relação para encontrar
em função de
.
Passo 5
Agora, vamos aplicar esse método para o caso especial em que a força
é uma constante, ou seja,
.
Substituindo
por
na equação que encontramos:
Como
é constante, podemos tirá-lo da integral:
A integral de
de
até
é simplesmente
:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
em função de
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Finalmente, isolando
:
Isso nos mostra que, quando a força
é constante, a velocidade da partícula aumenta de forma linear com o tempo.
Resposta
Ou seja, a velocidade
aumenta linearmente com o tempo
, com uma taxa de aceleração constante
.
Exercícios relacionados
Uma bola de golfe é atirada do nível do solo com uma velocidade
na direção leste e com angulo
acima da horizontal. Desprezando a resistência do ar, use a segunda lei de Newton para determinar a posição como uma função do tempo, usando coordenadas onde
mede na direção leste,
, na direção norte e
, verticalmente para cima. Determine o tempo para a bola de golfe retornar ao solo e qual o alcance da bola para esse tempo.
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onde
são constantes. Descreva a órbita (trajetória) da partícula.
Uma bala de massa igual a
é disparada horizontalmente para dentro de um bloco de madeira de
em repouso sobre uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície é de 0,2 . A bala pára no bloco, que desliza exatamente para frente por
(sem rotação). Com que velocidade a bala foi disparada? (Resp.: (b)
)
Considere uma massa
forçada a mover-se sobre o eixo
e sujeita a uma força resultante
, onde k é uma constante positiva. A massa é largada a partir do repouso em
no instante
. Determine a velocidade da massa como uma função de
, isto é,
para alguma função
. Separe isso como
e integre no tempo 0 até
para determinar
como uma função de
.