Existem alguns problemas unidimensionais simples para os quais a equação de movimento (segunda lei de Newton) pode ser resolvida, ou pelo menos reduzida a um problema envolvendo a resolução de uma integral. Um desses é o movimento unidimensional de uma partícula sujeita a uma força que depende apenas da velocidade v, ou seja, F=F( v). Escreva a segunda lei de Newton e separe as variáveis reescrevendo-a como m d v / F(v)=d t. Agora, integre ambos os lados dessa equação e mostre que
t=m integralv0^v d v^primeF(v^prime)
Desde que você consiga resolver a integral, essa fornece t como função de v. Você pode, então, resolver para obter v como função de t. Use esse método (separação de variáveis) para resolver o caso especial em que F(v)=F0, uma constante, e comente o resultado.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa trabalhar com a segunda lei de Newton para um movimento unidimensional onde a força depende só da velocidade, ou seja, . A ideia é separar as variáveis na equação e integrar para encontrar uma relação entre tempo e velocidade . No final, vamos aplicar isso para o caso especial onde a força é uma constante .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton. Ela diz que a força resultante F = m cdot a que atua em uma partícula é igual à massa F = m cdot dvdt dessa partícula multiplicada pela sua aceleração :
Como aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, podemos escrever:

Passo 3

Agora, queremos separar as variáveis F(v) = m cdot dvdt e F(v)F(v) = m cdot dvF(v) cdot dt para conseguir integrar os dois lados da equação. Para isso, vamos rearranjar a equação:
1 = mF(v) cdot dvdt
Dividindo ambos os lados por dt = mF(v) cdot dv :
m , dvF(v) = dt
Simplificando:
Agora, isolamos :
Ou, de forma equivalente:

Passo 4

Com as variáveis separadas, agora podemos integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar o lado esquerdo de integralv0^v m , dv'F(v') = integral0^t dt' até m integralv0^v dv'F(v') e o lado direito de 0 até t = m integralv0^v dv'F(v') :
t = m integralv0^v dv'F(v')
A integral do lado esquerdo fica:
E a integral do lado direito é simplesmente :
Então, chegamos à relação:
Isso mostra que, se conseguirmos resolver essa integral, podemos expressar como uma função de e, eventualmente, inverter essa relação para encontrar em função de .

Passo 5

Agora, vamos aplicar esse método para o caso especial em que a força t = m integralv0^v dv'F0 é uma constante, ou seja, t = mF0 integralv0^v dv' .
Substituindo t = mF0 (v - v0) por na equação que encontramos:
Como é constante, podemos tirá-lo da integral:
A integral de de até é simplesmente :

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar t = mF0 (v - v0) em função de F0m t = v - v0 :
v = v0 + F0m t
Multiplicando ambos os lados por :
Finalmente, isolando :
Isso nos mostra que, quando a força é constante, a velocidade da partícula aumenta de forma linear com o tempo.

Resposta

v(t) = v0 + F0m t
Ou seja, a velocidade aumenta linearmente com o tempo , com uma taxa de aceleração constante .

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