A bala de um rifle, com massa de 8,00 g e velocidade horizontal inicial de 280 m / s, atinge e gruda em um bloco com massa de 0,992 kg, apoiado sobre uma superfície sem atrito e preso à extremidade de uma mola ideal. A outra extremidade da mola está presa à parede. O impacto comprime a mola a uma distância máxima de 15,0 cm. Após o impacto, o bloco se move em MHS. Calcule o período desse movimento.

Passo 1

Então, temos um exercício de física que envolve colisão inelástica e movimento harmônico simples (MHS). A gente precisa calcular o período de oscilação de um bloco que, após ser atingido por uma bala, fica preso a uma mola. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis da conservação de quantidade de movimento e da conservação de energia, além de entender um pouquinho sobre MHS.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a colisão entre a bala e o bloco. Como a bala fica presa no bloco, é uma colisão inelástica. Nesses casos, a quantidade de movimento antes da colisão é igual à quantidade de movimento após a colisão. A fórmula da quantidade de movimento § é:
p = m times v
Onde:
  • é a massa
  • é a velocidade

Passo 3

Vamos calcular a quantidade de movimento antes da colisão. Temos a massa da bala ( pantes = mb times vb = 0,008,kg times 280,m/s = 2,24,kg cdot m/s ) e a velocidade dela ( ):

Passo 4

Após a colisão, a bala e o bloco se movem juntos com uma velocidade comum ( mtotal = mbloco + mb = 0,992,kg + 0,008,kg = 1,000,kg ). A massa total é a soma da massa do bloco ( pantes = pdepois ) e da massa da bala:
2,24,kg cdot m/s = 1,000,kg times v
Usando a conservação da quantidade de movimento:
v = 2,24,m/s
Então, a velocidade do sistema após a colisão é .

Passo 5

Agora, vamos considerar a compressão da mola. A energia cinética do sistema após a colisão é convertida em energia potencial elástica na mola quando ela está comprimida. A energia cinética (EC) é dada por:
EC = 12 m v^2
E a energia potencial elástica (EPE) da mola é:
EPE = 12 k x^2
Onde:
  • 12 m v^2 = 12 k x^2 é a constante da mola
  • é a compressão da mola ( )
Como a energia cinética se transforma em energia potencial:

Passo 6

Vamos isolar m v^2 = k x^2 na equação:
k = m v^2x^2
k = 1,000,kg times (2,24,m/s)^2(0,15,m)^2
Substituindo os valores:
k = 1,000 times 5,01760,0225
k = 5,01760,0225
k approx 223,004,N/m
Então, a constante da mola é aproximadamente .

Passo 7

Agora, vamos calcular o período ( T = 2pi raizmk ) do movimento harmônico simples. A fórmula do período para um sistema massa-mola é:
Onde:
  • é a massa total do sistema ( )
  • é a constante da mola ( )

Passo 8

Substituindo os valores na fórmula:
T = 2pi raiz1,000,kg223,0,N/m
T = 2pi raiz0,004484,s^2
T = 2pi times 0,06696,s
T approx 0,421,s

Resposta

O período do movimento harmônico simples é aproximadamente .

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