Um
balão de ar quente está subindo com uma velocidade de 12m/s e se encontra 80 m
acima do solo quando um tripulante deixa cair um pacote. (a) quanto tempo o pacote
leva para atingir o solo?  (b) Com que
velocidade atinge o solo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um balão de ar quente subindo a uma velocidade de 12 m/s e está a 80 metros acima do solo. Um tripulante solta um pacote nesse momento. A gente vai resolver duas perguntas aqui: (a) quanto tempo o pacote leva pra chegar no chão? E (b) com que velocidade ele atinge o solo? Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente variado, que ajudam a descrever como objetos se movem quando têm aceleração constante, como a da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Quando o pacote é solto, ele já tem a mesma velocidade do balão, ou seja, 12 m/s para cima. A partir desse momento, a única força agindo sobre o pacote é a gravidade, que puxa o pacote para baixo com uma aceleração de aproximadamente 9,8 m/s². Mas como o balão está subindo, a velocidade inicial do pacote é positiva (para cima).

Passo 3

Vamos definir nosso sistema de coordenadas. Vamos considerar para cima positivo e para baixo negativo. Então:
  • Posição inicial, $ y_0 = 80 $ m
  • Velocidade inicial, $ v_0 = +12 $ m/s
  • Aceleração, $ a = -9,8 $ m/s² (porque a gravidade está puxando o pacote para baixo)

Passo 4

Para encontrar o tempo que o pacote leva para atingir o solo, vamos usar a equação da posição no movimento uniformemente variado:
y(t) = y0 + v0 t + 12 a t^2
Queremos saber quando $ y(t) = 0 $ (quando o pacote chega no chão). Então:
y(t) = 0

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática:
-4,9 t^2 + 12 t + 80 = 0
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para facilitar:
4,9 t^2 - 12 t - 80 = 0

Passo 6

Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a
Aqui, $ a = 4,9 $, $ b = -12 $, e $ c = -80 $.

Passo 7

Calculando o discriminante ($ \Delta $):
De

Passo 8

Agora, aplicando na fórmula de Bhaskara:
t = -(-12) pm raiz17122 times 4,9 = 12 pm 41,389,8
Temos duas soluções, mas o tempo não pode ser negativo, então consideramos apenas a positiva:
t = 12 + 41,389,8 approx 53,389,8 approx 5,45 segundos

Passo 9

Agora, para encontrar a velocidade com que o pacote atinge o solo, usamos a equação da velocidade no movimento uniformemente variado:
v(t) = v0 + a t
Substituindo os valores:
v = 12 + (-9,8) times 5,45 approx 12 - 53,41 approx -41,41 m/s
O sinal negativo indica que a velocidade está direcionada para baixo.

Resposta

(a) O pacote leva aproximadamente 5,45 segundos para atingir o solo.
(b) A velocidade com que o pacote atinge o solo é de cerca de -41,41 m/s (direcionada para baixo).

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