Um
balão de ar quente está subindo com uma velocidade de 12m/s e se encontra 80 m
acima do solo quando um tripulante deixa cair um pacote. (a) quanto tempo o pacote
leva para atingir o solo? (b) Com que
velocidade atinge o solo?
balão de ar quente está subindo com uma velocidade de 12m/s e se encontra 80 m
acima do solo quando um tripulante deixa cair um pacote. (a) quanto tempo o pacote
leva para atingir o solo? (b) Com que
velocidade atinge o solo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um balão de ar quente subindo a uma velocidade de 12 m/s e está a 80 metros acima do solo. Um tripulante solta um pacote nesse momento. A gente vai resolver duas perguntas aqui: (a) quanto tempo o pacote leva pra chegar no chão? E (b) com que velocidade ele atinge o solo? Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente variado, que ajudam a descrever como objetos se movem quando têm aceleração constante, como a da gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Quando o pacote é solto, ele já tem a mesma velocidade do balão, ou seja, 12 m/s para cima. A partir desse momento, a única força agindo sobre o pacote é a gravidade, que puxa o pacote para baixo com uma aceleração de aproximadamente 9,8 m/s². Mas como o balão está subindo, a velocidade inicial do pacote é positiva (para cima).
Passo 3
Vamos definir nosso sistema de coordenadas. Vamos considerar para cima positivo e para baixo negativo. Então:
- Posição inicial, $ y_0 = 80 $ m
- Velocidade inicial, $ v_0 = +12 $ m/s
- Aceleração, $ a = -9,8 $ m/s² (porque a gravidade está puxando o pacote para baixo)
Passo 4
Para encontrar o tempo que o pacote leva para atingir o solo, vamos usar a equação da posição no movimento uniformemente variado:
Queremos saber quando $ y(t) = 0 $ (quando o pacote chega no chão). Então:
Passo 5
Agora, temos uma equação quadrática:
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para facilitar:
Passo 6
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 4,9 $, $ b = -12 $, e $ c = -80 $.
Passo 7
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Passo 8
Agora, aplicando na fórmula de Bhaskara:
Temos duas soluções, mas o tempo não pode ser negativo, então consideramos apenas a positiva:
Passo 9
Agora, para encontrar a velocidade com que o pacote atinge o solo, usamos a equação da velocidade no movimento uniformemente variado:
Substituindo os valores:
O sinal negativo indica que a velocidade está direcionada para baixo.
Resposta
(a) O pacote leva aproximadamente 5,45 segundos para atingir o solo.
(b) A velocidade com que o pacote atinge o solo é de cerca de -41,41 m/s (direcionada para baixo).