Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de
; a outra estava a
da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de
.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
A)
B)
C)
D)
E)
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um balão que estava numa certa altura e foi avistado por duas pessoas em posições diferentes. A primeira pessoa estava a 1,8 km de distância vertical do balão e viu o balão formando um ângulo de
. A segunda pessoa estava a 5,5 km da mesma linha vertical e viu o balão com um ângulo de
. Nosso objetivo é descobrir qual era a altura aproximada do balão. Para resolver isso, vamos usar um pouco de trigonometria, especificamente a função tangente, que relaciona os ângulos aos lados de um triângulo retângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a observação da primeira pessoa. Ela está a 1,8 km da posição vertical do balão e vê o balão formando um ângulo de
. Imaginemos um triângulo retângulo onde:
- O cateto adjacente é a distância horizontal da pessoa ao balão, que é 1,8 km.
- O cateto oposto é a altura do balão, que queremos encontrar (
). - O ângulo entre o chão e a linha de visão é de
.
Usamos a relação da tangente:
Substituindo os valores:
Sabemos que
, então:
Resolvendo para
:
Passo 3
Agora, vamos verificar com a segunda observação para confirmar nossos cálculos. A segunda pessoa está a 5,5 km da posição vertical do balão e vê o balão formando um ângulo de
. Montamos outro triângulo retângulo:
- Cateto adjacente: 5,5 km
- Cateto oposto:
(mesma altura do balão) - Ângulo:
Aplicando a fórmula da tangente:
Sabemos que
, então:
Resolvendo para
:
Passo 4
Observando os dois cálculos, obtemos alturas aproximadas de 3,118 km e 3,172 km, respectivamente. Essas diferenças são pequenas e podem ser atribuídas a arredondamentos durante os cálculos. Portanto, podemos concluir que a altura do balão está em torno de 3,1 km.
Resposta
A altura aproximada em que se encontrava o balão é 3,1 km.