Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de ; a outra estava a da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de .
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
A)
B)
C)
D)
E)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um balão que estava numa certa altura e foi avistado por duas pessoas em posições diferentes. A primeira pessoa estava a 1,8 km de distância vertical do balão e viu o balão formando um ângulo de . A segunda pessoa estava a 5,5 km da mesma linha vertical e viu o balão com um ângulo de . Nosso objetivo é descobrir qual era a altura aproximada do balão. Para resolver isso, vamos usar um pouco de trigonometria, especificamente a função tangente, que relaciona os ângulos aos lados de um triângulo retângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a observação da primeira pessoa. Ela está a 1,8 km da posição vertical do balão e vê o balão formando um ângulo de . Imaginemos um triângulo retângulo onde:
  • O cateto adjacente é a distância horizontal da pessoa ao balão, que é 1,8 km.
  • O cateto oposto é a altura do balão, que queremos encontrar ( ).
  • O ângulo entre o chão e a linha de visão é de .
Usamos a relação da tangente:
Substituindo os valores:
Sabemos que , então:
Resolvendo para :

Passo 3

Agora, vamos verificar com a segunda observação para confirmar nossos cálculos. A segunda pessoa está a 5,5 km da posição vertical do balão e vê o balão formando um ângulo de . Montamos outro triângulo retângulo:
  • Cateto adjacente: 5,5 km
  • Cateto oposto: (mesma altura do balão)
  • Ângulo:
Aplicando a fórmula da tangente:
Sabemos que , então:
Resolvendo para :

Passo 4

Observando os dois cálculos, obtemos alturas aproximadas de 3,118 km e 3,172 km, respectivamente. Essas diferenças são pequenas e podem ser atribuídas a arredondamentos durante os cálculos. Portanto, podemos concluir que a altura do balão está em torno de 3,1 km.

Resposta

A altura aproximada em que se encontrava o balão é 3,1 km.

Exercícios relacionados

Com relação à função do exercício 1, verifique que as funções
(a)
(d)
(b)
(e)
satisfazem a condição do ponto fixo para a raiz da função , isto é se, e somente se . Usando-as como Método de Aproximações Sucessivas, faça 4 iterações de cada uma delas, com a condição inicial . O que você observou? Usando agora o critério de análise de convergência, qual das funções tem a convergência garantida para o método?
Mostre que a função tem um único ponto fixo em . Use o MAS para encontrá-lo com um erro .
As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 (a altura é indicada na figura como o segmento ). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.
Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço:
a) menor que .
b) entre e
c) entre e
d) entre e
e) maior que .
Calcule para